Комбінаторика — розділ математики про обчислення кількості різних комбінацій будь-яких елементів.

З комбінаторикою мають справу хіміки при вивченні різних можливих типів зв’язків атомів у молекулах; біологи, наприклад, у процесі знаходженні послідовностей амінокислот у білкових сполуках; кібернетики при розв’язанні задач кодування і побудові обчислювальних пристроїв, математики – при розв’язанні багатьох різних задач, особливо, в теорії ймовірності. Також комбінаторику використовують у своїх моделях фізики, архітектори, економісти й представники багатьох інших наук.

Історія комбінаторики

Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.
Комбінаторика пов’язана з багатьма іншими розділами математики.
Термін «комбінаторика» ввів Лейбніц, який у 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво».
Іноді під комбінаторикою розуміють більш широкий розділ дискретної математики, що включає теорію графів.

В завданнях з комбінаторики, зазвичай, потрібно з’ясувати, чи можливо скласти комбінацію певного вигляду і скільки різних комбінацій можна скласти.

Деревоподібна діаграма

Деревоподібна діаграма — один зі способів показати і систематизувати всі розміщення. За допомогою деревовидної діаграми здійснюється повний перебір.

Такого роду діаграми в подробицях зручно малювати тільки для невеликого числа варіантів, а, наприклад, для сотень комбінацій дерево варіантів цілком не намалюєш. Тоді доводиться діяти по-іншому. Найчастіше при різних підрахунках використовують правило множення:

Для того, щоб знайти число всіх можливих результатів незалежного проведення двох випробувань А і В, слід помножити число всіх результатів випробування А і число всіх результатів випробування В.

 В окремих випадках для систематизації даних складаються таблиці комбінацій.

Приклад 1:

Скільки різних двозначних чисел можна скласти з цифр 1, 2 і 3, якщо кожну використовувати тільки один раз?

Розв’язання:

Складається деревоподібна діаграма.

Відповідь:

Можна скласти 6 різних чисел.

Приклад 2:

Простий ігровий кубик кидається 2 рази і отримані пункти помножуються. Скільки різних добутків можна отримати?

Розв’язання:

Складаємо таблицю.

Відповідь:

Різні добутки це 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36 —  всього 18 різних результатів.