С И С Т Е М И Ч И С Л Е Н Н Я

by Kostia Gurzhuy

Joined May 2020
Published Books 1

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід’ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід’ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв’язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв’язання зазначених задач і її використання на практиці.

Історія виникнення систем числення

Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам’ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних. Більш докладно ці системи числення будуть розглянуті нижче, тому що вони складають на сьогодні основу теорії систем числення взагалі.

Десяткова система числення

Десяткова непозиційна система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр (від 1 до 1 000 000) виникла в другій половині третього тисячоліття до н. е. в Стародавньому Єгипті (єгипетська система числення).

В іншій великій цивілізації — вавилонській з її шістдесятковою системою — за дві тисячі років до н. е. всередині шестидесятеричной розрядів використовувалася позиційна десяткова система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр. Єгипетська десяткова система вплинула на аналогічну систему в перших європейських системах письма, таких як критські ієрогліфи, лінійне письмо А и лінійне письмо Б.

Найдавніший відомий запис позиційної десяткової системи виявлено в Індії в 595 р. Нуль в той час застосовувався не тільки в Індії, але і в Китаї. У цих старовинних системах для запису однакового числа використовувалися символи, поруч з якими додатково позначали, в якому розряді вони стоять. Потім перестали помічати розряди, але число все одно можна прочитати, оскільки у кожного розряду є своя позиція. А якщо позиція порожня, її потрібно позначити нулем. У пізніх вавилонських текстах такий знак став з’являтися, але в кінці числа його не ставили. Лише в Індії нуль остаточно зайняв своє місце, цей запис поширився потім по всьому світу.

Індійська нумерація прийшла спочатку в арабські країни, потім і в Західну Європу. Про неї розповів середньоазіатський математик Аль-Хорезміі. Прості і зручні правила додавання і віднімання чисел, записаних в позиційній системі, зробили його особливо популярним. А оскільки праця Аль-Хорезмі була написана арабською, то за індійської нумерацією в Європі закріпилося неправильна назва — «арабська» (арабські цифри).

Шістнадцяткова та вісімкова системи числення

Двійкова система, зручна для комп’ютерів, для людини незручна через її громіздкість та незвичний запис. Переведення чисел з десяткової системи в двійкову та навпаки виконує машина. Проте, щоб професійно використати комп’ютер, слід навчитися розуміти слово машини. Для цього й розроблені вісімкова та шістнадцяткова системи. Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно в три (вісімкова) та в чотири (шістнадцяткова) рази менше розрядів, ніж в двійковій системі (адже числа 8 та 16 – відповідно, третя і четверта степені числа 2).

Шістнадцяткова система числення – це позиційна система числення з основою 16. Для запису чисел в шістнадцятковій системі використовуються 10 цифр від нуля до дев’яти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) та латинські букви A, B, C, D, E, F, що позначають числа від 10 до 15. Цифри шістнадцяткової системи числення та їх двійкові еквіваленти наведені в таблиці 3.5.

This free e-book was created with

Create your own amazing e-book!
It's simple and free.

Start now