Тэарэма Віета

Тэарэма Віета

х² + рх + q = 0,        D = p² – 4q,    D ≥ 0,   x₁ + x₂ = -p,  

x₁ · x₂ = q

 Сума каранёў прыведзенага квадратнага ўраўнення роўна яго другому каэфіцыенту, узятаму з процілеглым знакам, а здабытак – свабоднаму члену.

Заданні для самастойнага рашэння

Заданне 1. Рашыць квадратнае ўраўненне , не карыстаючыся формуламі каранёў квадратнага ўраўнення.

Заданне 2. Вядома, што х₁ і х₂ – карані ўраўнення х² + 7х – 12 = 0. Не рашаючы ўраўненне, знайсці значэнне выразу: а) (х₁ + х₂)²; б) х₁²х₂ +  х₁х₂²;

в) х₁² +  х₂² .

Заданне 3. Не рашаючы квадратнае ўраўненне

х² – 10х + 7 = 0, вызначыць знакі яго каранёў.

Заданне 2. Вядома, што х₁ і х₂ – карані ўраўнення х² + 7х – 12 = 0. Не рашаючы ўраўненне, знайсці значэнне выразу: а) (х₁ + х₂)²; б) х₁²х₂ +  х₁х₂²;

в) х₁² +  х₂² .

Рашэнне.

х² + 7х – 12 = 0.   р = 7,  q = – 12,

D = p² – 4q = 7² – 4 · (– 12) =  49 + 48 > 0.

Па тэарэме Віета х₁ + х₂ = – р = 7, х₁ · х₂ = q = – 12.

а) (х₁ + х₂)² =  7² = 49;

б) х₁²х₂ +  х₁х₂² = х₁х₂ (х₁ + х₂) = –12 · (–7)  = 98;

в) (х₁ + х₂)² =  х₁² + 2х₁ · х₂ + х₂² = 49 

 х₁² +  х₂² = (х₁ + х₂)² –  2х₁ · х₂ = =49 – 2 · (– 12) =  49 + 24 = 73.

Адказ: а) 49;   б) 98;   в) 73.

Заданне 3. Не рашаючы квадратнае ўраўненне х² – 10х + 7 = 0, вызначыць знакі яго каранёў.

Рашэнне.

 х² – 10х + 7 = 0,  р = – 10,  q = 7 ,

D = p² – 4q = (– 10)² – 4 · 7 =  100 – 28 > 0.

Па тэарэме Віета х₁ + х₂ = – р = 10 > 0,   х₁ · х₂ = q = 7 > 0.

Значыць  х₁ > 0,   х₂ > 0.

Адказ: х₁ > 0,   х₂ > 0.