Задачи на разрезание

Задача 1

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырёхугольника. А как разрезать квадрат на два равных пятиугольника или два равных шестиугольника?

Решение

Ответ на рисунке

Задача 2

Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сложить треугольник с тремя острыми углами и тремя различными сторонами.

Решение

Ответ на рисунке

Задача 3

Можно ли квадратный лист бумаги размером 2*2 сложить так, чтобы его можно было разрезать на 4 квадрата 1*1 одним взмахом ножницами?

Решение

Сложим квадрат пополам по диагонали, а затем полученный равнобедренный прямоугольный треугольник – еще раз пополам. Теперь все 4 отрезка длины 1, по которым нужно разрезать квадрат 2*2 на 4 квадрата 1*1, совместились. Тем самым, сделав единственный разрез ножницами, получим 4 квадрата 1*1. На самом деле, аналогичная задача может быть решена и для разрезания квадрата n*n на единичные квадратики.

Ответ: можно

Задача 4

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

Решение

При Петиных разрезаниях получаются только выпуклые многоугольники. При разрезании треугольника одна из частей тоже будет треугольником, поэтому число треугольников не уменьшается. Разрез может увеличить число сторон многоугольника только на 1, и при этом будет отрезан треугольник. Если мы увеличим число сторон 100 раз, то уже получим 100 треугольников. Иначе мы увеличили число сторон не более 99 раз, поэтому у каждого многоугольника не более 4+99=103 сторон. Значит, у нас есть не более 100 типов многоугольников. Но после того, как у нас станет 9901 часть, многоугольников какого-то типа станет по принципу Дирихле не менее 9901:100>99, то есть не менее 100.

Задача 5

Имеются два квадрата 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты прямыми на части (не более трех), из которых можно было бы сложить один квадрат.

Решение

На рисунке задача решена в общем случае. Пунктиром указан нужный квадрат. Докажите равенство треугольников, занумерованных одинаковыми цифрами.

Задача 6

Кафельная плитка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 1 дм и 2 дм. Можно ли из 20 таких плиток сложить квадрат?

Решение

На рисунке  показано, как это можно сделать.

Задача 7

Квадрат разрезали на несколько частей. Переложив эти части, из них всех сложили треугольник. Затем к этим частям добавили еще одну фигурку – и оказалось, что  из нового набора фигурок можно сложить как квадрат, так и треугольник.
Покажите, как такое могло бы произойти (нарисуйте, как именно эти два квадрата и два треугольника могли бы быть составлены из фигурок).

Решение

Ответ на рисунке

Задача 8

Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.

Решение

Разрежем квадрат по диагонали. Один из треугольников отложим в сторону. Теперь на какие бы треугольники мы ни разрезали второй треугольник, условие задачи будет выполнено. Один из возможных вариантов приведён на рисунке.

Задача 9

Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так, что получился четырёхугольник, причем всюду трёхслойный. Как это могло получиться?

Решение

Разобьём треугольник на 9 равносторонних треугольников (см. рис.). Загнём “внутрь” части, отмеченные цветом, и получим шестиугольник.

Этот шестиугольник можно перегнуть по любой диагонали, соединяющей противоположные вершины, и получить трёхслойный четырёхугольник (трапецию).

Задача 10

Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?

Решение

Основное соображение: после каждого хода количество кусков увеличивается ровно на 1.

Сначала был один кусок. В конце игры, когда нельзя сделать ни одного хода, шоколадка разломана на маленькие дольки. А их 48! Таким образом, игра будет продолжаться ровно 47 ходов. Последний, 47-й ход (так же, как и все другие ходы с нечетными номерами) сделает первый игрок. Поэтому он в этой игре побеждает, причем независимо от того, как будет играть.