Задачи на составление уравнений и систем уравнений

Задача 1

В комнате стояли стулья (с четырьмя ножками) и табуреты (с тремя ножками). Когда на каждый стул и каждый табурет село по одному школьнику, то общее число «ног» в комнате составило 39. сколько стульев и сколько табуретов стояло в комнате?

Решение

Пусто x – число стульев, а у – число табуретов в комнате. У табурета вместе с сидящим на нём человеком 5 ног. Поскольку всего в комнате 39 ног, то у ≤ 39/5, т.е. у ≤ 7. Так как у стула вместе с сидящим на нём человеком 6 ног, то имеем равенство  6х + 5у = 39. Из этого равенства вытекает, что у нечётно. Переписав равенство в виде 5у = 3 * (13 – 2х), видим, что у делится на 3, Значит, у = 3, х = 4.

Ответ: 4 стула, 3 табурета

Задача 2

Два года назад Вася был в два раза моложе своего брата Пети, а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет братьям сейчас?

Решение

Обозначим через х возраст Васи 3 года назад. Тогда 3 года назад возраст Пети равен согласно условию 3х лет. По условию через год выполнялось равенство 2(х + 1) = 3х + 1, откуда находим  х = 1. Итак, 3 года назад Васе был 1 год, а Пете – 3 года. Значит, сейчас им 4 года и 6 лет соответственно.

Ответ: 4 года, 6 лет

Задача 3

В детском игровом наборе имеются шарики, кубики, пирамидки и цилиндрики. Известно, что цилиндрик весит столько же, сколько весят шарик и кубик вместе, а три пирамидки – столько же, сколько два цилиндрика. Кроме того, шарик весит столько же, сколько весит кубик и пирамидка вместе. На правую чашку чашечных весов положили шарик. Сколько кубиков нужно положить на левую чашку, чтобы весы находились в равновесии?

Решение

Так как цилиндрик весит столько же, сколько кубик и шарик вместе, а шарик – столько же, сколько весят вместе пирамидка и кубик, то цилиндрик весит столько же, сколько весят вместе 1 пирамидка и 2 кубика. Следовательно, 2 цилиндрика весят столько же, сколько весят вместе 2 пирамидки и 4 кубика. Но по условию 2 цилиндрика весят как 3 пирамидки. Получаем, что 3 пирамидки весят как 2 пирамидки и 4 кубика. Поэтому пирамидка весит столько же. Сколько и 4 кубика, а тогда шарик (равный по весу кубику и пирамидке вместе) весит столько же, сколько весят вместе 5 кубиков.

Ответ: 5 кубиков

Задача 4

Вася подсчитывает процент выигранных им матчей от числа всех матчей, которые он сыграл. Перед последним турниром, на котором Вася выиграл все матчи, этот процент был равен 25%, а после турнира он стал равняться 75%. Определите, во сколько раз число сыгранных Васей на последнем турнире матчей больше числа матчей , сыгранных (выигранных и проигранных) им до этого турнира.

Решение

Пусть х – число выигранных Васей матчей до последнего турнира, а у – число выигранных в этом турнире матчей. Согласно условию до последнего турнира Вася сыграл 4х матчей. Поэтому, так как по условию он в последнем турнире все матчи выиграл, то после турнира общее число сыгранных Васей матчей равно 4х + у, а число выигранных матчей равно х + у. По условию х + у = 0,75 * (4х + у), откуда у = 8х. Следовательно, число сыгранных Васей в последнем турнире матчей у = 8х в 2 раза больше числа 4х матчей, сыгранных им до этого турнира.

Ответ: в 2 раза

Задача 5

Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1 оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё остаются патроны). Сколько раз Вася точно поразил мишень, если вначале он на все свои деньги купил 10 патронов, выстрелить же ему удалось 20 раз, причём последний оставшийся у него патрон Вася из-за промаха вынужден был отдать?

Решение

Пусть х – число промахов Васи. Тогда он попал 20 – х раз. Число патронов у Васи после каждого промаха уменьшалось на 2, а после каждого попадания увеличивалось на 1. Следовательно, так как вначале  у него было 10 патронов, то 10 + 1 * (20 – х) – 2 * х = 0, тогда 3х = 30, откуда х = 10. Значит, Вася попал в мишень 20 – 10 = 10 раз.

Ответ: 10 раз

Задача 6

Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1 оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё остаются патроны). Придя в тир, Вася на все свои деньги купил патроны. Сколько раз Вася точно поразил мишень, если в конце стрельбы выяснилось, что купил он столько же патронов, сколько раз точно поразил мишень, а выстрелить ему удалось 20 раз?

Решение

Пусть х – число  точных попаданий Васи, а значит, и число оплаченных им выстрелов. Число патронов у Васи после каждого промаха уменьшалось на 2, а после каждого попадания увеличивалось на 1. Следовательно, ему удалось сделать либо х + 2х – (20 – х) + 1 = 4х – 19 выстрелов, если последним патронов Вася не смог поразить мишень, либо х + 2х – (20 – х) = 4х – 20 выстрелов, если последний патрон у него забрали. Поэтому либо 20 = 4х – 19, что невозможно ни при каком целом х, либо 20 = 4х – 20, откуда х = 10.

Ответ: 10

Задача 7

Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1 оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё остаются патроны). Придя в тир, Вася на все свои деньги купил 10 патронов. Он точно не помнит, но уверен, что всего он выстрелил то ли 15, то ли 16 раз. Определите, сколько раз выстрелил Вася и сколько раз он попал в мишень.

Решение

Пусть х – число  точных попаданий Васи, а N – число сделанных им выстрелов. Число патронов у Васи после каждого промаха уменьшалось на 2, а после каждого попадания увеличивалось на 1. Значит, либо 10 + 2х – (N – х) = N, если последний патрон у Васи из-за его промаха забрали, либо             10 + 2х – (N – х) + 1 = N, если последним патроном Вася не смог поразить мишень. Поэтому либо            2N – 10 = 3х,  либо 2N – 11 = 3х. Подставляя в эти равенства значения N = 15 и  N = 16, убеждаемся, что лишь при N = 16 существует натуральное число х = 7. Стало быть, всего Вася выстрелил 16 раз, а попал 7 раз. Легко привести пример такой стрельбы: первых 7 раз Вася попал, а затем 9 раз подряд  промазал.

Ответ: Вася выстрелили 16 раз, но попал 7 раз

Задача 8

Знайка, Незнайка и Торопыжка собирали яблоки в общественном саду. Известно, что число яблок, собранных Знайкой, в 2 раза меньше числа всех яблок, собранных Незнайкой и Торопыжкой вместе, а число яблок, собранных Незнайкой, в 3 раза меньше числа всех яблок, собранных Знайкой и Торопыжкой вместе. Кто из них собрал больше всех яблок, а кто – меньше всех?

Решение

Примем количество яблок, собранных Знайкой, Незнайкой и Торопыжкой вместе, за 1. Пусть Знайка собрал х яблок. Рассмотрим две кучи яблок. Первая куча состоит из 2х яблок (удвоенное число яблок, собранных Знайкой). 2-я куча образована яблоками, собранными Незнайкой и Торопыжкой. Согласно условию, количество яблок в кучах равны. 2х = 1 – х. Значит, х = 1/3.   Пусть Незнайка собрал у яблок. Тогда 3у – утроенное число яблок, собранных Незнайкой. 3у = 1 – у, тогда у = ¼. Поэтому Торопыжка собрал 1 – (1/3 + ¼) = 5/12. Значит, Торопыжка собрал яблок больше, а Незнайка – меньше остальных.

Ответ: больше всех яблок собрал Торопыжка, а меньше всех – Незнайка

Задача 9

Каждый из учеников пятого класса некоторой школы всем остальным сортам шоколадных батончиков предпочитает один из следующих сортов: «Марс», «Сникерс» или «Баунти». Причём число учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Марс», равно числу учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Сникерс», и на одного больше числа учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Баунти». Из числа учеников, предпочитающих «Марс», ровно половина отдаёт предпочтение «Сникерсу» перед «Баунти», а из числа учеников, предпочитающих «Сникерс», вчетверо больше отдают предпочтение «Баунти» перед «Марсом». Сколько учеников в классе, если известно, что число учеников, предпочитающих «Сникерс», но отдающих предпочтение «Марсу» перед «Баунти», не более трёх?

Решение

Обозначим через х число учеников, предпочитающих «Сникерс» и отдающих предпочтение «Марсу» перед «Баунти». По условию х ≤ 3. Согласно условию ученики, предпочитающие «Сникерс», делятся на 2 группы: тех, кто отдаёт предпочтение «Марсу» перед «Баунти», и тех, кто отдаёт предпочтение  «Баунти» перед «Марсом». Число первых мы обозначили через х, а число вторых по условию вчетверо больше, т.е. равно 4х. Следовательно, число учеников, предпочитающих «Сникерс», равано 4х + х = 5х. По условию столько же учеников предпочитает «Марс», а число учеников, предпочитающих «Баунти», на одного меньше, т.е. 5х – 1. Тогда всего учеников в классе                           5х + 5х + 5х – 1 = 15х – 1. Далее, по условию из учеников,  предпочитающих «Марс», ровно половина отдаёт предпочтение «Сникерсу» перед «Баунти». Значит, число 5х чётно. Поскольку х ≤ 3, то х = 2 и число учеников в классе равно 15х – 1 = 29.

Ответ: 29 учеников

Задача 10

В хозяйственном магазине продаются два типа «Набора для новосёлов». В один набор, который стоит 2700 рублей, входит 10 гвоздей, 20 шурупов и 30 дюбелей, а в другой, который стоит 4800 рублей, – 20 гвоздей, 30 шурупов и 50 дюбелей. Гвозди, шурупы и дюбели в этих наборах одинаковые. Может ли продавец узнать, на сколько дороже или дешевле гвоздь шурупа? Может ли продавец узнать стоимость в отдельности гвоздя, шурупа и дюбеля?

Решение

а) Предположим, что один покупатель (назовём его А) купил 5 наборов 1-го типа, а другой покупатель (назовём его Б) купил 3 набора 2-го типа. Тогда А заплатил 2700 * 5 = 13500 рублей, а Б – 4800 * 3 = 14400 рублей. Значит, Б заплатил на 900 рублей больше, чем А. Всего в 5 наборах 1-го типа содержится 50 гвоздей, 100 шурупов и 150 дюбелей, а в 3-х наборах 2-го типа – 60 гвоздей, 90 шурупов и 150 дюбелей. Следовательно, А купил на 10 шурупов больше, но и на 10 гвоздей меньше, чем Б. Дюбелей они купили поровну. Поэтому те 900 рублей, на которые Б заплатил больше, и составляют разницу между стоимостью 10 гвоздей и 10 шурупов, т.е. один гвоздь дороже одного шурупа на 900 : 10 = 90 рублей.                                                                                                                          

  б) Докажем, что определить стоимость гвоздя, шурупа и дюбеля в отдельности невозможно. Для этого нам достаточно двумя различными способами так назначить их стоимости, чтобы выполнялись условия. Например, пусть гвоздь стоит 100 рублей, шуруп – 10 рублей, дюбель – 50 рублей или они стоят соответственно 110, 20 и 40 рублей.

Ответ: на 90 рублей;  нет, не может