Примеры и контрпримеры

Задача 1

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

Решение

Да, может. Например: Андрей Васильевич Иванов, Андрей Геннадиевич Петров, Борис Геннадиевич Иванов, Борис Васильевич Петров.

Задача 2

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

Решение

Искомая последовательность операций видна из следующей записи:  15 = 32 – 16 – (8 – 4 – 2 – 1).

Ответ

Может

Замечания

В результате указанных операций можно получить любое нечётное число от 1 до 31

Задача 3

Про числа a и b известно, что a=b+1 . Может ли оказаться так, что a⁴=b⁴ ?

Решение

Пусть a=1/2, b=-1/2, тогда a⁴=b⁴= . Можно доказать, что этот пример– единственный (от учащихся это не требуется). Действительно, a⁴=b⁴ |a|=|b| . Случай a=b невозможен, случай a=-bдаёт указанный пример

Ответ

да, может

Задача 4

Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех – Аня, меньше всех – Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него даётся 1 очко, у одного игрока – 2 очка, слова, общие у всех трёх игроков, вычёркиваются. Могло ли так случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех – Аня?

Решение

Пусть, например, всего составлено 15 слов, из них два есть только у Бори, 4 – только у Васи, 6 – у Ани и Бори и 3 – у Ани и Васи. Всего Аня составила 9 слов и набрала 9 очков, у Бори – 8 слов и 10 очков, а у Васи – 7 слов и 11 очков.

Задача 5

Существуют ли натуральные числа m и n, для которых верно равенство:  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ = a⁶b⁶ ?

Решение

Действительно, при  m = 3,  n = 2,  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ + (– 2a²b²)³ + (3a³b³)² = – 8a⁶b⁶ + 9a⁶b⁶ = a⁶b⁶

Ответ

Существуют

Замечания

Докажем, что приведённый ответ – единственный.   Преобразуем левую часть данного равенства:
(–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ = (–2)^ma^mnb^mn + 3ⁿa^mnb^mn = ((–2)^m + 3ⁿ)a^mnb^mn.
Для того, чтобы исходное равенство было верным, необходимо, чтобы  mn = 6  и  (–2)^m + 3ⁿ = 1.  При любых натуральных n  3ⁿ > 1,  поэтому  (–2)^m < 0.  Следовательно, m – нечётное число. У числа 6 есть только два натуральных нечётных делителя: 1 и 3. Значит, возможны два случая:  m = 1,  n = 6  или  m = 3,  n = 2.  Проверкой убеждаемся, что в первом случае равенство не выполняется, а во втором – выполняется

Задача 6

Имеется пять звеньев цепи по 3 кольца в каждом. Какое наименьшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья
в одну цепь?

Решение

Раскуем все кольца одного звена. Оставшиеся 4 звена соединим тремя раскованными кольцами.

Ответ

Три кольца

Задача 7

Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?

Подсказка

Нужно добиться того, чтобы у Змея Горыныча было чётное число голов и не осталось хвостов. Для достижения этого сначала необходимо добиться определённого числа хвостов.

Решение 

Заметим, что рубить одну голову бессмысленно. Остаются три типа ударов: при первом число хвостов увеличивается на 1; при втором число хвостов уменьшается на 2, но число голов увеличивается на 1; при третьем число голов уменьшается на 2.
Каждый удар удар 2-го типа (и только он) меняет чётность числа голов. Поскольку в начале число голов нечётно, а в конце их должно стать чётное число (0), то количество ударов 2-го типа нечётно. Но одного такого удара недостаточно – им не удастся срубить все хвосты, а удары других типов число хвостов только увеличивают. Поэтому ударов 2-го типа должно быть не меньше трёх.
При этом вырастет не меньше трёх дополнительных голов, и, чтобы срубить все головы, потребуется не менее трёх ударов 3-го типа.
Кроме того, три удара 2-го типа срубают шесть хвостов, то есть надо отрастить как минимум три дополнительных хвоста, на что потребуется не менее 3 ударов 1-го типа. Итого, нужно не менее девяти ударов.
Их и достаточно. Например, сначала Иван может нанести три удара 1-го типа (увеличив число хвостов до шести), затем срубить все хвосты тремя ударами 2-го типа (при этом голов станет шесть), и наконец, срубить эти шесть голов тремя ударами 3-го типа.

Задача 8

Семь грибников собрали вместе 100 грибов. Обязательно ли найдутся два грибника, собравшие вместе не менее чем 36 грибов, если количества грибов, собранных каждым, попарно различаются?

Решение

Пусть, например, грибники собрали 10, 12, 13, 14, 16, 17 и 18 грибов соответственно. Тогда любая пара вместе собрала не более чем 35 грибов, а
10 + 12 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18 = 100

Ответ

Не обязательно

Задача 9

Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество красок потребуется Тому для этой работы?

Решение

Двух красок (скажем, белой и красной) не хватит: покрасив доску номер 1 в белый цвет, Том будет вынужден покрасить в красный цвет доски с номерами 4 , 5 и 7 . Тогда между красными досками номер 4 и номер 7 будет ровно две доски, что нарушает требование условия.
Трёх красок достаточно: Том может покрасить три доски подряд в белый цвет, потом три доски в синий, потом три — в красный, потом снова три — в белый и так далее. При этом между одинаково окрашенными досками будет либо не более одной доски (если они в одной тройке), либо не менее шести (если они в разных тройках), так что условие задачи будет выполнено.

Ответ

3 краски