Примеры и контрпримеры

Задача 1

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

Решение

Да, может. Например: Андрей Васильевич Иванов, Андрей Геннадиевич Петров, Борис Геннадиевич Иванов, Борис Васильевич Петров.

Задача 3

Про числа a и b известно, что a=b+1 . Может ли оказаться так, что a⁴=b⁴ ?

Решение

Пусть a=1/2, b=-1/2, тогда a⁴=b⁴= . Можно доказать, что этот пример– единственный (от учащихся это не требуется). Действительно, a⁴=b⁴ |a|=|b| . Случай a=b невозможен, случай a=-bдаёт указанный пример

Ответ

да, может

Задача 5

Существуют ли натуральные числа m и n, для которых верно равенство:  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ = a⁶b⁶ ?

Решение

Действительно, при  m = 3,  n = 2,  (–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ + (– 2a²b²)³ + (3a³b³)² = – 8a⁶b⁶ + 9a⁶b⁶ = a⁶b⁶

Ответ

Существуют

Замечания

Докажем, что приведённый ответ – единственный.   Преобразуем левую часть данного равенства:
(–2aⁿbⁿ)^m + (3a^mb^m)ⁿ = (–2)^ma^mnb^mn + 3ⁿa^mnb^mn = ((–2)^m + 3ⁿ)a^mnb^mn.
Для того, чтобы исходное равенство было верным, необходимо, чтобы  mn = 6  и  (–2)^m + 3ⁿ = 1.  При любых натуральных n  3ⁿ > 1,  поэтому  (–2)^m < 0.  Следовательно, m – нечётное число. У числа 6 есть только два натуральных нечётных делителя: 1 и 3. Значит, возможны два случая:  m = 1,  n = 6  или  m = 3,  n = 2.  Проверкой убеждаемся, что в первом случае равенство не выполняется, а во втором – выполняется

Задача 7

Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста – вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?

Подсказка

Нужно добиться того, чтобы у Змея Горыныча было чётное число голов и не осталось хвостов. Для достижения этого сначала необходимо добиться определённого числа хвостов.

Решение 

Заметим, что рубить одну голову бессмысленно. Остаются три типа ударов: при первом число хвостов увеличивается на 1; при втором число хвостов уменьшается на 2, но число голов увеличивается на 1; при третьем число голов уменьшается на 2.
Каждый удар удар 2-го типа (и только он) меняет чётность числа голов. Поскольку в начале число голов нечётно, а в конце их должно стать чётное число (0), то количество ударов 2-го типа нечётно. Но одного такого удара недостаточно – им не удастся срубить все хвосты, а удары других типов число хвостов только увеличивают. Поэтому ударов 2-го типа должно быть не меньше трёх.
При этом вырастет не меньше трёх дополнительных голов, и, чтобы срубить все головы, потребуется не менее трёх ударов 3-го типа.
Кроме того, три удара 2-го типа срубают шесть хвостов, то есть надо отрастить как минимум три дополнительных хвоста, на что потребуется не менее 3 ударов 1-го типа. Итого, нужно не менее девяти ударов.
Их и достаточно. Например, сначала Иван может нанести три удара 1-го типа (увеличив число хвостов до шести), затем срубить все хвосты тремя ударами 2-го типа (при этом голов станет шесть), и наконец, срубить эти шесть голов тремя ударами 3-го типа.

Задача 9

Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество красок потребуется Тому для этой работы?

Решение

Двух красок (скажем, белой и красной) не хватит: покрасив доску номер 1 в белый цвет, Том будет вынужден покрасить в красный цвет доски с номерами 4 , 5 и 7 . Тогда между красными досками номер 4 и номер 7 будет ровно две доски, что нарушает требование условия.
Трёх красок достаточно: Том может покрасить три доски подряд в белый цвет, потом три доски в синий, потом три — в красный, потом снова три — в белый и так далее. При этом между одинаково окрашенными досками будет либо не более одной доски (если они в одной тройке), либо не менее шести (если они в разных тройках), так что условие задачи будет выполнено.

Ответ

3 краски