Шахматные доски и фигуры

Задача 1.

На бесконечной шахматной доске на двух соседних по диагонали черных полях стоят две черные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число черных шашек и одну белую таким образом, чтобы белая одним ходом взяла все черные шашки, включая две первоначально стоявшие?

Решение.

Заметим, что белая шашка при взятии черной сдвигается всегда на четное число вертикалей. Поэтому, если она взяла одну из первоначально стоявших на доске шашек, то всегда будет отстоять от второй на четное число вертикалей и не сможет ее взять. Таким образом, сформулированная в условии задача невыполнима.

Задача 2.

На шахматной доске размером 8×8 клеток произвольно проведена прямая. Чему равно наибольшее число клеток, которые она может пересечь?

Решение.

Отметим все точки пересечения проведенной прямой с границами клеток шахматной доски. Отмеченные точки разбивают проведенную прямую на несколько конечных отрезков (лучи, исходящие из первой и последней из отмеченных точек, мы рассматривать не будем). Каждый отрезок проходит по одной и только одной клетке шахматной доски. Следовательно, бор принять за исходный, то поставленную в условии задачу выполнить не удастся.

Задача 3.

Сколько различных по величине или по расположению квадратов, состоящих из целого числа клеток, можно начертить на шахматной доске в 64 клетки?

Ответ: 204 квадрата.

Задача 4.

Имеется шахматная доска с обычной раскраской (границы квадратов считаются окрашенными в черный цвет). Начертить на ней окружность наибольшего радиуса, целиком лежащую на черных полях, и доказать, что большей окружности того же рода начертить нельзя.

Ответ: радиус этой окружности равен /10/2, а центр лежит в центре черной клетки.

Задача 5.

Пусть каждую часть доски разрешается разрезать только в отдельности. Сколько разрезов понадобится, чтобы получить 64 отдельных поля?

Решение.

Придется произвести 63 разреза. Действительно, каждый разрез увеличивает число частей на единицу, но перед тем, как произвести первый разрез, мы имели одну часть (саму доску), а в результате их должно стать 64 (все поля доски).

Ответ: 63 разреза.

Задача 6.

На какое максимальное число разных частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении. Переворачивать части не разрешается.

Решение.

Максимальное число частей равно 18. На рисунке 1 и 2 представлены два вида разрезов.

Особенность решения на рисунке 1 состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рисунке 2, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рисунке 1 части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).

Задача 7.

Какое максимальное число полей доски можно пересечь одной прямой?

Решение.

Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых — девяти  вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рисунка следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток. Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей доски.

Ответ: 15.

Задача 8.

Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?

Решение.

Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно — по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других — в направлениях почти параллельных второй диагонали доски.

Ответ: 7.

Задача 9.

Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьёй клетка находилась под боем хотя бы трёх из них?

Решение.

Нетрудно проверить, что расстановка на рисунке удовлетворяет условию. Допустим, существует такая расстановка, когда ладей меньше, чем 16. Если на какой-либо горизонтали нет ни одной ладьи, то каждая из её клеток может находиться под боем не более двух ладей. Следовательно, на одной из горизонталей (назовём её H) должна стоять ровно одна ладья (назовём её r). Рассмотрим любую из семи свободных клеток на H. Сверху и снизу от неё должно находиться по ладье, поэтому ладей хотя бы 1+2*7=15. Значит, их ровно 15, причём семь из них стоят выше H, а другие семь – ниже. На вертикали, где стоит r (назовём её V), больше ладей нет. Поэтому, из аналогичных

соображений, на любой горизонтали, кроме H, стоят ровно две ладьи: одна левее V, другая – правее (если их больше двух, то всего ладей уже 16). Значит, сверху от H стоит чётное число ладей; но мы знаем, что их 7. Противоречие.

Задача 10.

На шахматной доске размером 8X8 отметили 17 клеток. Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню потребуется не менее трёх ходов для попадания с одной из них на другую.

Доказательство.

Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке 1. Легко проверить, что путь коня от любой из четырёх клеток этой фигуры до любой другой состоит не менее, чем из трёх ходов. Шестнадцатью такими фигурами можно замостить всю доску рисунок 2. По принципу Дирихле одна из этих шестнадцати фигур содержит по крайней мере две отмеченные клетки. Они и будут искомыми.