Задачи на работу

Задача 1

Две бригады, работая одновременно, обрабатывают участок земли за 12 ч. За какое время этот участок могла бы обработать первая бригада отдельно, если скорости выполнения работы первой и второй бригадами относятся как 3 : 2?
Решение.

Пусть x – производительность первой бригады, а y – производительность второй бригады. Величину участка земли примем за единицу. Согласно условию, получаем систему уравнений  1/(x+y)=12 и x/y=32 , откуда x=1/20 и y=1/30 . Так как требуется найти время, за которое первая бригада, работая отдельно, могла бы обработать участок, то t=1/1/20=20 ч.
Ответ: за 20 ч.

Задача 2

Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
Решение.

Предположим, что бригады работали вместе x дней. Первая бригада за один день выполняет 1/12 часть работы, вторая бригада выполняет всю работу за 75% (12 дней), то есть за 9 дней, а значит, за один день она выполняется 1/9 часть работы. За 5 дней первая бригада выполнила 5/12 частей всей работы. Тогда за один день совместной работы обе бригады выполнили 1/12+1/9=7/36 частей всей работы, а за x дней – 7x/36 частей. Составим уравнение 5/12+7x/36=1, откуда x=3.
Ответ: 3 дня.

Задача 3

Четыре коровы черной масти и три коровы рыжей масти за 5 дней дали такой же надой молока, какой дали три коровы черной масти и пять рыжей масти за 4 дня. Какие коровы более производительны – черной или рыжий масти? (Коровы одной масти одинаково производительны).

Решение.

Пусть х – производительность коровы черной масти, а y – производительность коровы рыжей масти.

Тогда 5(4х + 3y) = 4(3x + 5y),

20x + 15y = 12x + 20y,

8x=5y,

х=5/8y.

Значит, x<y, т.е. производительность коров рыжей масти больше.

Ответ: коровы рыжей масти более производительны.

Задача 4

Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем  первому?
Решение.

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за x часов, а второй – за y часов. Из условия следует, что x=y−1. За 1 ч первый рабочий выполнит 1x часть работы, а второй – 1y часть работы. Так как они работали вместе 34 ч, то за это время они выполнили 34(1x+1y) часть работы. За 214 ч работы второй выполнил 94⋅1y часть работы. Так как вся работа выполнена, то можно составить такое уравнение:  34(1x+1y)+94⋅1y=1 или 34⋅1x+3⋅1y=1.
Подставив значение x в это уравнение, получим 34⋅1y−1+3y=1. Приводим это уравнение к квадратному: 4y^2−19y+12=0, которое имеет решения 34 ч и 4 ч. Первое решение не подходит, так как оба рабочих только вместе работали 34 ч. Тогда y=4, a x=3.
Ответ: 3 ч и 2 ч.

Задача 5

Два мастера, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут выполнить задание за 7 дней. Если бы это задание выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый мастер в отдельности выполнил бы это задание?
Решение.

Пусть x – производительность первого мастера, y – производительность второго мастера. Первое уравнение имеет вид 7x+5,5y=1, так как первый мастер работал 7 дней, а второй 7−1,5=5,5 дней, при этом вся работа принята за 1. Второй уравнение имеет вид 1/x=1/y+3, так как 1/x – время, затраченное первый мастером на выполнение всей работы отдельно от второго мастера, 1/y – время, затраченное вторым мастером на выполнение всей работы отдельно от первого мастера.  Полученная система решается методом подстановки: из первого уравнения можно выразить x=(1−5,5y)/7 и подставить во второе уравнение, которое примет вид 16,5x^2+9,5y−1=0, откуда x=111 и x=114.
Ответ: 11 дней и 14 дней.

Задача 6

Бассейн может наполнится водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй – на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй – на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн?
Решение.

Пусть из первого крана можно заполнить бассейн за x минут, а из второго – за y мин. Первый заполняет за одну минуту 1/x часть бассейна, а второй – 1/y. За 10 мин из первого крана заполнится 10/x часть бассейна, а за 20 мин из второго крана – 20/y часть бассейна. Так как бассейн будет заполнен, то получаем первое уравнение 10/x+20/x=1. Аналогично составляем второе уравнение, с учетом того, что заполняется не весь бассейн, а только 35 его объема: 5/x+15/y=3/5. Полученная система легко решается относительно 1/x и 1/y – методом подстановки.
Ответ: 50/3 мин, 50 мин.

Задача 7

Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще 9/20 всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание?
Решение.

Пусть первой машинистке для выполнения всего задания требуется x часов, а второй – y часов. Когда первая проработала 3 ч, вторая проработала 2 ч, причем обе они выполнили 1−9/20=11/20 всего задания. Получаем уравнение 3/x+2/y=11/20.
По окончании работы выяснилось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. Значит, первая потратила x/2 ч, а вторая – y/2 ч. Так как первая машинистка работала на 1 ч больше, чем вторая, то приходим к уравнению x/2−y/2=1.
В полученной системе уравнение одно из решений содержит отрицательный y, что противоречит условию задачи. Следовательно, только одно из решений является ответом исходной задачи.
Ответ: за 10 ч, за 8 ч.

Задача 8

Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать некоторый участок дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только первая бригада, а заканчивала ремонт участка одна вторая бригада, производительность которой выше, чем у первой бригады. В результате ремонт участка продолжался 40 дней, при-чем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3  всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
Решение.

Пусть всю работу первая бригада может выполнить за x дней, а вторая — заy дней. Примем всю работу за единицу, тогда 1/x – производительность первой бригады, 1/y– производительность второй бригады, 18/y – часть работы, которую могла выполнить вторая бригада за 18 дней, 18/x – часть работы, которую могла выполнить первая бригада за 18 дней.
Так как обе бригады, работая вместе, могли выполнить всю работу за 18 дней, то 18/x+18/y=1.
Далее из условия следует, что первая бригада затратила 2x/3 дней на выполнение 2/3 всей работы, а вторая на 1/3 всей работы затратила y/3 дней. Значит, 2x/3+y/3=40, ведь по условию всего было затрачено 40 дней.
Решив систему из этих двух уравнений, находим, что x=24,y=72 или x=45,y=30. Так как производительность второй бригады должна быть выше, то остается только вариант x=45,y=30.
Ответ: за 45 дней; за 30 дней.

Задача 9

Имеются два двигателя одинаковой мощности. Один из них, работая, израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384 г бензина. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй, наоборот, столько, сколько первый, то за одно и то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым. Сколько бензина в час расходует каждый двигатель?

Решение.

Пусть первый двигатель, работая 1 ч, расходуетx г бензина, а второй — y г. Тогда первый двигатель израсходовал 600 г за 600/x ч, а второй — 384 г за 384/y ч.  Из условия следует, что 600/x−384/y=2. Если бы первый двигатель в 1 ч расходовал y (г), то за 600/x ч он израсходовал бы 600y/x (г).
Если бы второй двигатель в 1 ч расходовал x (г), то за 384/y ч он израсходовал бы 384x/y (г).
Тогда приходим к уравнению 600y/x=384x/y.
Осталось решить систему методом подстановки из двух полученных уравнений.

Ответ: 60 г; 48 г.

Задача 10

Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем причем первый проработал 6 ч, второй — 4 ч, а третий — 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй —2 ч, третий — 5 ч, то было бы выполнено лишь 23 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?
Решение.

Пусть , и  – производительности каменщиков соответственно из номерам в задаче. Всю работу примем за единицу. Тогда  и . А найти необходимо . Домножим первое уравнение на , второе уравнение – на  и получившиеся уравнения сложим. После приведения подобных слагаемых получим, что . Тогда ответ равен 6 ч.
Ответ: 6 ч.

Задача 11

В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 м3 воды. Во второй день работала лишь малая труба и подала также 14 м3 воды, поскольку проработала на 5 ч дольше, чем в предыдущий день. В третий день обе трубы сначала подали 21 м3 воды, а затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м3 воды, причем общая продолжительность времени подача воды была такой же, как и во второй день. Определить производительность каждой трубы.
Решение.

Пусть x и y – производительности труб, причем x<y. Тогда t(x+y)=14, где t ч – время работы труб в первый день. Далее из условия следует, что (t+5)x=14, m(x+y)=21 и (t+5−m)y=20, где m ч – время совместной работы труб в третий день. Итого четыре уравнения. Из первого и третьего выразим t и m и подставим во второе и четвертое. Получим уравнения (14/(x+y) +5)x=14 и (14/(x+y) +5−21/(x+y))y=20. Упростим оба уравнения и выразим из первого уравнения y=5x^2/(14−5x) и подставим во второе. После упрощения приходим к квадратному уравнению 105x^2+182x−784=0, из которого следует, что x=2. Тогда y=5.
Ответ: 2; 5.