Принцип Дирихле

Теоретический материал

Решим задачу 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Даня подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырех конфет.

Подсказка. “клетки” в этой задаче  – это завтрак, обед и ужин, т.е. их число равно 3, а “кролики ” – это конфеты.

Задача 2

В школе 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдется 2 человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

Задача 3

В коллекции имеется 25 монет по 1,2,3,5 копеек. Имеется ли среди них 7 монет одинакового достоинства?

Задача 4

В городе живет 200 000 жителей. Докажите, что в городе найдется хотя бы 2 человека с одинаковым числом волос на голове. Считайте, что у человека на голове не больше 150 000 волос.

Задача 5

10 команд играют в футбольном турнире, проходящем в один круг. Докажите, что в любой момент найдутся 2 команды, сыгравшие в этом турнире одинаковое количество матчей.

Задача 6

5 мальчиков собрали вместе 14 грибов. Каждый нашел хотя бы 1 гриб. Докажите, что хотя бы 2 мальчика нашли одинаковое количеств грибов.

Задача 7

В коробке лежит 100 шаров трех цветов: синего, зеленого и белого. Сколько шаров надо вытянуть из коробки не глядя, чтобы среди них оказалось 30 шаров одного цвета?

Задача 8

В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежит 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, чтобы среди них оказалась пара носков одного цвета?

Задача 9

Имеется 5 ключей от пяти комнат с разными замками. Сколько потребуется проб в “худшем случае”, чтобы подобрать ключи к комнатам?

Подсказка. Выберем произвольный ключ, в “худшем случае” первые 4 комнаты он не откроет, значит, этот ключ от 5 комнаты. Итак, сделано 4 пробы и осталось 4 ключа и 4 комнаты.

Задача 10

В летней математической школе 400 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдется хотя бы 2 ученика, родившихся в один и тот же день года?

Задача 11

Машинистка, перепечатывая 25 страниц текста, сделала 102 опечатки. Докажите, что найдется страница, на которой сделано более четырех опечаток.

Задача 12

Четыре пары перчаток отца – по 2 пары черных и серых – лежали на полке в шкафу. Какое наименьшее число перчаток должен взять отец наугад, чтобы обеспечить себя парой перчаток одного цвета?

Задача 13

Даны 12 различных двузначных натуральных чисел. Докажите, что из них можно выбрать два числа, разность которых  – двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами.

Задача 14

Верно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три, сумма которых делится на 3?

Задача 15

Докажите, что среди любых девяти последовательных натуральных чисел найдется по крайней мере одно взаимно простое с каждым из остальных.