Делимость целых чисел и остатки

Задача 1

В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6, 9. Может ли одно из этих чисел быть ровно в 3 раза больше другого?

Задача 2

Существует ли такое двузначное число, что если переставить в нём цифры, оно станет в три раза больше?

Задача 3

Вдоль прямолинейной аллеи растут четыре дерева. Расстояния между соседними из них равны 63, 14 и 84 метра. Какое наименьшее число деревьев надо ещё посадить, чтобы расстояния между любыми двумя соседними деревьями были равны между собой?

Задача 4

Найдите все делящиеся на 7 трёхзначные натуральные числа, среди цифр которых нет нулей и которые удовлетворяют следующему условию: в каком бы порядке ни переставить их цифры, полученное число всё равно будет делиться на 7.

Задача 5

Существует ли такое натуральное число, оканчивающееся цифрой 2, что если эту цифру переставить из конца числа в его начало, то получится число, в 2 раза меньшее первоначального?

Задача 6

Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на какие-либо 10 последовательных натуральных чисел.

Задача 7

– В моём издании «Математической энциклопедии», – сказал профессор Смит, – сколько томов с простыми номерами, столько же и с не простыми.  « – А в моём издании «Математической энциклопедии», – сказал профессор Кузнецов, – сколько томов с составными номерами, столько же и с не составными. У кого  из них в энциклопедии больше томов?

Задача 8

Квадрат 10 х10 клеточек линиями, параллельными его сторонам, разграфлён на 100 квадратиков 1 х 1. Можно ли разрезать его по этим линиям на некоторое число прямоугольников, площади которых попарно различны и являются последовательными натуральными числами?

Задача 9

Три одноклассника Женя, Игорь И Серёжа написали каждый на своём листке по 99 попарно различных чисел о отдали свои записи учителю математики. Учитель просмотрел их записи, вычеркнул все повторяющиеся хотя бы в двух листках числа и возвратил каждому из мальчиков его листок. Оказалось, что у Жени не вычеркнуты 93 числа, у Игоря – 87, а у Серёжи – 82. Докажите, что по крайней мере одно число встретилось во всех листках.

Задача 10

Вася задумал некоторое число. Он умножил его на 13 и зачеркнул последнюю цифру полученного числа. Новое число Вася умножил на 5 и опять зачеркнул последнюю цифру полученного числа. В результате получилось число 23. Какое число задумал Вася?

Задача 11

Найдите все четырёхзначные числа, делящиеся на 36, у которых первая цифра равна 3, а последняя 6.

Задача 12

На олимпиаде по математике в 5 классе участвовало поровну девочек и мальчиков. Две трети от общего число участников решили не менее двух задач. Но дипломы победителей получили менее 25% от числа тех, кто решил две задачи и больше. От числа победителей, получивших дипломы, 40% составляли девочки. Какое наименьшее число пятиклассников могло участвовать в такой олимпиаде?

Задача 13

Накануне 23 февраля каждый из учащихся 6 класса (и мальчик, и девочка) подарил каждому мальчику этого класса поздравительную открытку. Всего было подарено 300 открыток. А накануне дня 8 Марта каждый из учащихся этого  класса (и мальчик, и девочка) подарил поздравительную открытку  каждой  девочке в классе. На этот раз было подарено 350 открыток. Сколько мальчиков и сколько девочек в этом классе?

Задача 14

В некоторых вершинах куба сидит по пауку, причём на  каждой его грани сидит нечётное число пауков. Докажите, что всего на кубе сидит чётное число пауков.

Задача 15

В олимпиаде по математике приняли участие школьники 5 – 7 классов. Среди участников число девочек 5 и 6 классов оказалось больше числа мальчиков 7 класса на число, равное числу членов жюри; Число девочек 6 и 7 классов оказалось меньше числа мальчиков 5 класса на число, в полтора раза большее числа членов жюри; а число девочек 5 и 7 класса – больше числа мальчиков 6 класса на число, в два раза меньшее числа членов жюри. Могло ли оказаться, что в олимпиаде участвовало ровно 100 школьников?

Задача 16

На столе стоят несколько тарелок. На каждой тарелке лежат груши. Если добавить на каждую тарелку некоторое, одно и то же для всех тарелок, число груш, то общее число груш на столе увеличится на 11. Сколько тарелок стоит на столе?

Задача 17

На столе стоят несколько тарелок. На каждой тарелке лежат конфеты, причём на разных тарелках – разные количества конфет, и ни одна тарелка не пустует.  Если добавить на каждую тарелку некоторое, одно и то же для всех тарелок, число конфет, то общее число конфет  на столе удвоится. А если бы удвоили число конфет на каждой из тарелок, то общее число конфет на столе увеличилось бы на 21. Сколько тарелок стоит на столе?