סדרת פיבונאצ’י

הקדמה :

חידת הארנבים

נניח שאנחנו מגדלים ארנבים, ומתחילים כשבחצר שלנו זוג ארנבים בוגר אחד.
בתוך חודש הופכים כל הארנבים הצעירים לארנבים בוגרים, וכל זוג של ארנבים בוגרים מוליד זוג של ארנבים צעירים.

נניח גם כי אף ארנב לא מת ובכל המלטה יהיו תמיד זוג ארנבים (זכר ונקבה).
כמה זוגות של ארנבים בוגרים יש בחודש ה -? 8

פתרון החידה:

חודש                מס’ הזוגות  

1                         1

2                         1

3                         2

4                         3

5                         5

6                         8 

7                         13

8                         21

סדרת המספרים שקיבלנו … 1,2,3,5,8,13 נקראת “סדרת פיבונאצ’י” וניתן לראות שכל איבר בה הוא סכום של שני האיברים שקדמו לו.

הסדרה נקראה כך על שמו של המתמטיקאי ליאונרדו פיבונאצ’י ששיבץ את חידת התרבות הארנבים בספרו “ספר החשבונייה” שכתב במאה ה-12.

המיוחד בסדרה זו הוא שמלבד לתיאור התרבותם של ארנבים היא מופיעה במגוון רחב של תופעות בטבע, במדע ובשאר תחומים שונים שלא ניתן למצוא קשר גלוי ביניהם.

פיבונאצ’י הציג סידרה זו בהקשר לבעיה העוסקת בצאצאיה של ארנבת. בהקשר לבעיה העוסקת בצאצאיה של ארנבת.

מספרים בסדרה יכולים לתת במהירות את מספר הארנבות אחרי כל מספר דורות.

בשנות ה- 70 של המאה ה – 19, מאות שנים אחרי ממצאיו של פיבונאצ’י,  התגלו בטבע דוגמאות רבות לסדרה של פיבונאצ’י.

בוטניקאים גילו שתבנית ניצני העלים על גבעולים מסוימים זהה לסדרת פיבונאצ’י..

בסדרה יש גם תבניות ויחסי מספרים מרתקים. לדוגמה :

סכום הריבועים של כל שני מספרי פיבונאצ’י עוקבים הוא תמיד מספר פיבונאצ’י אחר.

כמו כן, סכום כל עשרה מספרי פיבונאצ’י עוקבים הוא תמיד מספר המתחלק ב – 11. אלו הן רק שתי דוגמאות של התכונות המתמטיות לאין ספור שאפשר לגלותן בסדרה זו.

מלבן הזהב :

מלבן הזהב הוא הצורה המלבנית הפופולרית ביותר באמנות ובארכיטקטורה וכן בחיי היום יום. מחקרים מראים שאנשים מתרבויות שונות מעדיפים אותו על פני מלבנים בעלי פרופורציות אחרות. במלבן זהב, היחס בין הצלע הארוכה לצלע הקצרה הוא בערך 1.618. זהו המספר המקורב המתקבל מחילוק מספר פיבונאצ’י כלשהו במספר פיבונאצ’י שלפניו. היחס המתקיים במלבן זה נקרא יחס הזהב.

 אפשר להבחין בכוחו של יחס הזהב ביצירות מופת כמו הפירמידות  המצריות והפרתנון  באתונה ובחפצים יומיומיים. מדהים לגלות עד כמה שולט יחס הזהב בעולמנו.

אם נערוך מדידות בין חלקי הפנים שלנו, בין חלקים שונים בגופינו, אפילו במדידת אצבעותינו  נמצא קרבה ליחס הזהב. העין שלנו אוהבת את יחס הזהב , אומנים, אדריכלים ומוסיקאים משתמשים בו רבות ונוכל לגלות אותו ביצירות המופת הגדולות בעולם. נוכל למצוא את יחס הזהב בעבודותיו של לאורנרדו דה-וינצ’י ואפילו בהימורים נמצא אותו.

עיוות של יחס הזהב משמש קריקטוריסטים. בעזרת העיוות הם מדגישים תווי פנים ואופי אותם הם מעונינים להדגיש בקריקטורה שהם מציירים.