סדרת פיבונאצ’י

הקדמה :

חידת הארנבים

נניח שאנחנו מגדלים ארנבים, ומתחילים כשבחצר שלנו זוג ארנבים בוגר אחד.
בתוך חודש הופכים כל הארנבים הצעירים לארנבים בוגרים, וכל זוג של ארנבים בוגרים מוליד זוג של ארנבים צעירים.

נניח גם כי אף ארנב לא מת ובכל המלטה יהיו תמיד זוג ארנבים (זכר ונקבה).
כמה זוגות של ארנבים בוגרים יש בחודש ה -? 8

פתרון החידה:

חודש                מס’ הזוגות  

1                         1

2                         1

3                         2

4                         3

5                         5

6                         8 

7                         13

8                         21

סדרת המספרים שקיבלנו … 1,2,3,5,8,13 נקראת “סדרת פיבונאצ’י” וניתן לראות שכל איבר בה הוא סכום של שני האיברים שקדמו לו.

הסדרה נקראה כך על שמו של המתמטיקאי ליאונרדו פיבונאצ’י ששיבץ את חידת התרבות הארנבים בספרו “ספר החשבונייה” שכתב במאה ה-12.

המיוחד בסדרה זו הוא שמלבד לתיאור התרבותם של ארנבים היא מופיעה במגוון רחב של תופעות בטבע, במדע ובשאר תחומים שונים שלא ניתן למצוא קשר גלוי ביניהם.

פיבונאצ’י הציג סידרה זו בהקשר לבעיה העוסקת בצאצאיה של ארנבת. בהקשר לבעיה העוסקת בצאצאיה של ארנבת.

מספרים בסדרה יכולים לתת במהירות את מספר הארנבות אחרי כל מספר דורות.

בשנות ה- 70 של המאה ה – 19, מאות שנים אחרי ממצאיו של פיבונאצ’י,  התגלו בטבע דוגמאות רבות לסדרה של פיבונאצ’י.

בוטניקאים גילו שתבנית ניצני העלים על גבעולים מסוימים זהה לסדרת פיבונאצ’י..

בסדרה יש גם תבניות ויחסי מספרים מרתקים. לדוגמה :

סכום הריבועים של כל שני מספרי פיבונאצ’י עוקבים הוא תמיד מספר פיבונאצ’י אחר.

כמו כן, סכום כל עשרה מספרי פיבונאצ’י עוקבים הוא תמיד מספר המתחלק ב – 11. אלו הן רק שתי דוגמאות של התכונות המתמטיות לאין ספור שאפשר לגלותן בסדרה זו.