Збірник різнорівневих завдань з теми “Квадратні рівняння”

ТЕОРІЯ

1. Рівняння вигляду ax^2+bx+c=0, у якому a, b і c — дійсні числа та a≠0, називається квадратним рівнянням.
2. Корені квадратного рівняння знаходять за формулами: x1=(−b+√D)/(2⋅a); X2=(−b+√D)/(2⋅a).
3. D називається дискримінантом. D= b2−4ac.
4. Якщо D<0 (від’ємний), то в рівняння немає дійсних коренів.
5. Якщо D=0, то рівняння має два рівних корені.
6. Якщо D>0 (додатний), то рівняння має два різних корені.
7. Якщо коефіцієнт при x^2 дорівнює 1, тобто а=1.
   x^2+bx+c=0 можна розв’язати за допомогою теореми Вієта:{x1⋅x2=c;x1+x2=−b
8. Неповні квадратні рівняння мають два види:                              1)Якщо c=0, то ax^2+bx=0
   2)Якщо b=0, то ax^2+c=0

9. Неповні квадратні рівняння можна розв’язувати за допомогою формули дискримінанта, але раціональніше вибрати спеціальні способи:

   1. ax^2+bx=0 можна розв’язати, розклавши на множники (винести за дужки x):

   x⋅(ax+b)=0

   x=0  або ax+b=0                                                                                 Отже, один корінь дорівнює 0, а другий корінь x=−b/a (оскільки добуток двох чисел дорівнює 0 лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює 0).                                                                        2. ax2+c=0 можна розв’язати, добуваючи корінь із кожної частини рівняння.

   ax2=−c (обидві сторони діляться на a): x^2=−c/a;|x|=√ (- c/а)

Практика

Неповні квадратні рівняння

№1 Доведіть, що:

а) Кожне з чисел 7 та -7 є коренем рівняння 2х^2 – 98 = 0;

б) Кожне з чисел 0 та -4 є коренем рівняння х^2 – 98 = 0.

№2 Розв’яжіть рівняння:

а) (3х-1)(2х-2) = (х-4)^2 + 6;

б) 6х – 6(х – 4) = (2х – 1) (2х + 1);

в) (3х – 4)^2 – (5х + 2) (2х + 8) = 0;

г) (2х – 1) (2х + 3) – (х + 2)^2 = 0

№3 Складіть квадратне рівняння, яке має такі корені:

а) 5 і 7; б) 4 і – 4; в) 0 і 11.

№4

Сума квадратів двох послідовних цілих чисел на 17 більша за подвоєне більше з них. Знайдіть ці числа.

№5 Розв’яжіть відносно х рівняння, в якому а ≠ 0:
а) ах^2 = 9;

б) ах^2 – = 0;

в) 6,25 – а2х^2 = 0;

г) ах^2 – = 0.

Розв’язування квадратних рівнянь

виділенням квадрата двочлена

№1 Розв’яжіть рівняння, виділивши повний квадрат суми або різниці

а)   х² + 2х + 1 = 40;                                      

б)   х² – 8х + 15 = 0;                                       

в)  х² +12х + 20 = 0;                                    

г)   х² – 5х – 61 = 0;                                       

д)  х² – 8х – 9 = 0;

№2 Розв’яжіть рівняння, виділенням квадрата двочлена

а) 9 х^2 – 30х + 25 = 0;

б) -2х^2 – 6х + 1,5 = 0;

в) (х – 0,2-3)(х+1/7)(х+2,1)=0

г) 2х^2 – 9х + 10 = 0;

д) 5х^2 + 3х – 8 = 0;

№3 

Добуток двох чисел дорівнює їх середньому арифметичному, а різниця цих чисел рівна 1. Знайдіть ці числа.

№4

Різниця двох чисел дорівнює 2, а половина добутку цих чисел рівна їх середньому арифметичному. Знайдіть ці числа.

Розв’язування рівнянь

за допомогою формули коренів квадратного рівняння

№1 Розв’яжіть рівняння, попередньо записавши їх в стандартному вигляді:

а) х^2 + 5х = 14;

б) 3х^2 = 2х – 5;

в) (4x – 3)^2 + (3x – 1) (3x + 1) = 9;

г) 25х^2 + 10 = 10х + 9;

д) (х – 2)(х + 2) + 14 = 9х – х^2;

№2 При яких значеннях х:
а) значення виразів (х–2)^2–5|х+2|-3 та 2|х+2|-3 рівні;

б) вираз -2х^4 + 5х^2 + 6 дорівнює виразу 4х^4 + 5х^2 ;

в) вираз (1/x )^2 – 6/x дорівнює виразу 5/x – 18;

г) вираз3(3/x)^2–4*3/x+3дорівнює виразу(3/x)^2+3/x+1?

№3 Розв’яжіть рівняння:
а) | x^2 – 2x | = 3 – 2x;

б) | x – 2 | = x^2 – 2x;

в) | x^2 + x – 1 | = 2x – 1;

г) | 2x + 1 | = x^2 – x – 1.

№4 При яких значеннях параметра  b  мають один корінь рівняння:

а) bx² – 6x – 7 = 0;

б) (b + 5) x² – (b + 6) x + 3 = 0;

в) (b – 4) x² + (2b – 8) x + 15 = 0;

г) (a + 2) x² + (a² + 2a) x + a + 2 = 0?

№5 При яких значення х параметра a рівняння
a (2a + 4) x^2 – (a + 2) x – 5a – 10 = 0 має більше ніж один розв’язок?

Теорема Вієта

№1 Один з коренів квадратного рівняння рівний 2. Знайдіть другий корінь рівняння:

а) 7х^2 – 11х – 6 = 0; б) х^2 – 8х + 12 = 0;

№2 Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють:

а) 2 і 5; б) – 0,2 і –10; в) 0 і 6;

№3 Один корінь дорівнює 1, знайдіть b : х^2 – bx =0

х 1 = 5, знайдіть с : 2х^2 – 4х – с = 0.

х 1 = – 2, знайдіть b : 3х^2 + bх – 2 = 0.

х 1 = 4, знайдіть х 2 : 2х^2 – bх + 8 = 0.

№4

Один з коренів рівняння 3х^2 – 9х + с = 0 на 2 більший другого. Знайдіть c.

№5

При яких значеннях параметра a різниця коренів рівняння
2x^2 – (a + 1) x + a – 1 = 0 дорівнює їх добутку?

Розв’язування задач з допомогою квадратних рівнянь

№1

Городня ділянка, що має форму прямокутника, одна сторона якого на 20 м більше іншої. Її потрібно обнести огорожею. Визначте довжину огорожі, якщо відомо, що площа ділянки дорівнює 8 000 м2.

№2

Від листа картону, що має форму квадрата, відрізали смугу шириною 3 см і площею 70 см2. Знайдіть розміри аркуша картону.

№3

Знайди три послідовних натуральних числа, сума квадратів яких дорівнює 1589.

№4

У прямокутному трикутнику гіпотенуза в 1 ¼ рази більша одного катета і на 8 см більша іншого. Знайдіть сторони трикутника.

№5

Робітник мав за певний термін виготовити 360 деталей. Перші 5 днів він виготовляв щоденно заплановану кількість деталей, а потім щодня виготовляв на 4 деталі більше й уже за день до строку виготовив 372 деталі. Скільки деталей щодня мав виготовляти за планом робітник?

№6

Висота h (в м), на якій через t секунд виявиться кинуте вертикально вгору тіло, обчислюється за формулою h = V0 t – 5 t 2, де V0 – початкова швидкість (у м/сек). У який момент часу тіло опиниться на висоті 300 м, якщо за 1 секунду воно піднялося вгору на 75 м?

Розкладання квадратного тричлена

на лінійні множники

№1 Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен:
а)x^2 – 7x + 12; б) –x^2 + x + 2; в)1/6b^2- 5/6b + 1;

№2 Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен:
а)x^2 + 5x – 14; б) 2a^2 – 3a + 1; г) 0,3m^2 – 3m + 7,5;

№3 Розв’яжіть нерівність:
–x^2 + x – 1<= 0;

№4 При якому значенні параметра a розклад на лінійні множники тричлена:

а) 2x^2 – 7x + a містить множник (x – 4);

б) 4x^2 – ax + 6 містить множник (2x + 1)?

№5 Розкладіть на множники многочлен:

а) 3m^2 – 8mn – 3n^2; б) 4x^2 – 5xy + y^2;

в) a^2 – 14ab + 40b^2; г) 12b^2 + bc – 6c^2.

Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних

№1 Розв’яжіть рівняння:

а) x^2/(x+2)=4/(x+2);

б) 3х+4/x=7;

в) 6/(x+1)=(x^2-5x)/(x+1);

№2 Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної, скориставшись алгоритмом:

Позначте х2 через t;
Початкове рівняння запишіть, використавши заміну;
Розв’яжіть отримане квадратне рівняння;
Поверніться до змінної х та знайдіть корені початкового рівняння.
а) x^4 – 5x^2 + 4 = 0; б) x^4 – 8x^2 – 9 = 0;

в) x^4 – 5x^2 + 6 = 0; г) x^4 + 14x^2 – 32 = 0.

№3 Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:

а) (x + 3)⁴ – 3 (x + 3)² – 4 = 0;

б) (2x + 1)⁴ – 10 (2x + 1)² + 9 = 0;

в) (6x – 7)⁴ + 4 (6x – 7)² + 3 = 0;

г) (x – 4)⁴ + 2 (x – 4)² – 8 = 0.

№4 Розв’яжіть рівняння:

а) (8x^2 – 3x + 1)^2 = 32x^2 – 12x + 1;

б) (x^2 – 5x + 7) (x – 2)(x – 3) = 2;

№5 Розв’яжіть рівняння:

а) x^4 + 8x^3 + 10x^2 – 24x + 5 = 0;

б) x^4 + 4x^3 – 10x^2 – 28x – 15 = 0;

в) 10x^2 (x – 2)^2 = 9 (x^2 + (x – 2)^2).

Розв’язування задач з допомогою раціональних рівнянь

№1

Катер пройшов 16 км за течією річки і 30 км проти течії, витративши на весь шлях 1 год 30 хв. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії становить 1 км/год.

№2

Водний розчин солі містив 120 г води. Після того як до розчину додали 10 г солі, її концентрація збільшилася на 5 %. Скільки грамів солі містив розчин спочатку?

№3

Одному маляру треба на 5 год більше, ніж другому, щоб пофарбувати фасад будинку. Коли перший маляр пропрацював 3 год, а потім його змінив другий, який пропрацював 2 год, то виявилося, що пофарбовано 40 % фасаду. За скільки годин може пофарбувати фасад кожний маляр, працюючи самостійно?

№4

Дано двозначне число. Число його одиниць на 3 менше числа десятків. Добуток цього числа на число, записане тими же цифрами в оберненому порядку, дорівнює 574. Знайдіть дане число.

№5

Щоб виконати певне виробниче завдання, одному робітникові треба на 12 год менше, ніж другому, і на 4 год більше, ніж обом робітникам для спільного виконання завдання. За скільки годин може виконати це завдання перший робітник?

ЗМІСТ

2 ТЕОРІЯ

3 Неповні квадратні рівняння

4 Розв’язування квадратних рівнянь виділенням квадрата

двочлена

5 Розв’язування рівнянь за допомогою формули коренів       квадратного рівняння

6 Теорема Вієта

7 Розв’язування задач з допомогою квадратних рівнянь

8 Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники

9 Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних

10 Розв’язування задач з допомогою раціональних рівнянь