Відношення і пропорції

.                       .

Відношення

Частку двох чисел a і b, відмінних від нуля,  називають відношенням чисел a і b, або відношенням числа a до числа b.

У відношенні числа a до числа b чи́сла a і b називають членами відношення, число a — попереднім членом відношення, а число b — наступним.

                                                      .

Відношення не зміниться, якщо його члени  помножити або поділити на одне й те саме число, яке не дорівнює нулю. Цю властивість називають основною властивістю відношення. Вона залишається справедливоюй тоді, коли члени відношення — дробові числа.

Відношення чисел a і b показує, у скільки разів число a більше за число b, або яку частину число a становить від числа b.

                       . 

Приклади використання відношень:
швидкість — відношення довжини пройденого шляху до часу, за який пройдено цей шлях;
ціна — відношення вартості товару до кількості одиниць його виміру (кілограмів, літрів, метрів, коробок тощо);
густина — відношення маси речовини до її об’єму;

продуктивність праці — відношення обсягу виконаної роботи до часу, за який було виконано цю роботу.

               .

Пропорції

Якщо відношення a:b дорівнює відношенню c:d, то рівність a:b = c:d (або рівність a/b =c/d) називають пропорцією.

Числа a і d називають крайніми членами пропорції, а числа b і c — середніми членами пропорції.

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів. Цю властивість називають основною властивістю пропорції.
Правильним є і таке твердження:
якщо a, b, c і d — числа, які не дорівнюють нулю, і ad=bc, то відношення a/b і c/d рівні й можуть утворити пропорцію a/b=c/d.

                       

Приклади на відношення 

Знайдіть відношення 3,2 м до 16 см.

Розв’язання. Щоб знайти відношення даних величин, треба спочатку виразити їх в однакових одиницях виміру, а потім виконати ділення. Маємо: 3,2 м : 16 см = 320 см : 16 см = 20.

Відповідь: 20.

Замініть відношення 7/15 : 4/9 відношенням натуральних чисел.

Розв’язання. Помноживши кожен із дробів 7/15 і 4/9 на їхній найменший спільний знаменник — число 45, отримаємо:

7/15:4/9=(7/15*45):(4/9*45) = 21:20

Відповідь: 21 : 20.

Приклади на пропорції

Знайдіть невідомий член пропорції 9 : x = 3 : 7.

Розв’язання. Використовуючи основну властивість пропорції, маємо: 3*x = 9*7. Звідси x= (9*7)/3 = 21.

Відповідь: 21.

Скільки коштують 3,2 м тканини, якщо за 4,2 м цієї тканини заплатили 315 грн?

Розв’язання. Нехай: 3,2 м — x грн; 4,2 м — 315 грн.

Відношення x/3,2 і 315/4,2 рівні, оскільки кожне з них показує, скільки коштує 1 м тканини. Тоді складемо пропорцію: x/3,2=315/4,2.

Звідси x =(3,2*315)/4,2=3,2*75=240.

Відповідь: 240 грн.