Тригонометричні рівняння та нерівності
by Tetyana Masych
Artwork: Тетяна Масич
- Joined Jun 2023
- Published Books 20
Copyright © 2023
Зміст
1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 10
2. Приклади розв’язування рівнянь……………………11 – 16
3. Приклади розв’язування нерівностей…………….17 – 22
4. Тести………………………………………………………………….23
5. Підготовка до НМТ з математики…………………….24
6.Відео…………………………………………………………………..25 – 26
7. Завдання для самостійної роботи…………………..27 – 28
Теоретичні відомості
Означення: рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій.
Означення: найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння
sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a
Означення: розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції.
Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.
Розв’язання рівняння sinx = a
1. Всі розв’язки рівняння sinx = a, |a| ≤ 1
записуються у вигляді
x=(−1)karcsina + πk, k ∈ Z
2. Окремі випадки:
sinx = 0 ⇒ x = πk, k ∈ Z
sinx =± 1 ⇒ x =± π/2 + 2πk, k ∈ Z
3. При |a| > 1 рівняння sinx = a розв’язків не має
Розв’язання рівняння cosx = a
1. Всі розв’язки рівняння cosx = a, |a| ≤ 1
записуються у вигляді
x=±arccosa+2πk, k ∈ Z
2. Окремі випадки:
cosx = 0 ⇒ x = π/2 + πk, k ∈ Z
cosx = −1 ⇒ x = π + 2πk, k ∈ Z
3. При |a| > 1 рівняння cosx = a розв’язків не має
Розв’язання рівняння tgx = a
1. Всі розв’язки рівняння tgx = a записуються у вигляді
x = arctga + πk, k ∈ Z
2. Окремий випадок:
tgx = 0 ⇒ x = πk, k ∈ Z
Розв’язання рівняння ctgx = a
1. Всі розв’язки рівняння ctgx = a записуються у вигляді
2. Окремий випадок:
Тригонометричні нерівності
Найпростіші тригонометричні нерівності:
sinx ≥ a або sinx ≤a, |a| ≤ 1
cosx ≥ a або cosx ≤ a, |a| ≤ 1
tgx ≥ a або tgx ≤a, а є R
ctgx ≥ a або ctgx ≤a, а є R
Розв’язуючи тригонометричні нерівності, зручно користуватися одиничним колом або графіком відповідної функції.
Нагадаємо, що на колі зростання кута відбувається проти годинникової стрілки.
Розв’язки нерівності знаходимо на проміжку, довжина якого дорівнює періоду функції, а тоді їх періодично продовжуємо.
1. sin 𝑥 ≥ 𝑎:
– якщо 𝑎 < −1, то 𝑥 ∈ (−∞; +∞);
– якщо −1 ≤ 𝑎 ≤ 1, то arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 − arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑛,
𝑛 ∈ Z;
– якщо 𝑎 > 1, то нерівність розв’язків не має.
2. sin 𝑥 ≤ 𝑎:
– якщо 𝑎 < −1, то нерівність немає розв’язків;
– якщо −1 ≤ 𝑎 ≤ 1, то 𝜋 − arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 + arcsin 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z
– якщо 𝑎 > 1, то 𝑥 ∈ (−∞; +∞).
3. cos 𝑥 ≥ 𝑎:
– якщо 𝑎 ≤ −1, то 𝑥 ∈ (−∞; +∞);
– якщо −1 ≤ 𝑎 ≤ 1, то − arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛 ≤ 𝑥 ≤ arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z;
– якщо 𝑎 > 1, то нерівність розв’язків не має.
4. cos 𝑥 ≤ 𝑎:
– якщо 𝑎 < −1, то нерівність розв’язків не має;
– якщо −1 ≤ 𝑎 ≤ 1, то arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 − arccos 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z;
– якщо 𝑎 > 1, то 𝑥 ∈ (−∞; +∞).
5. tg 𝑥 ≥ 𝑎:
– при 𝑎 ∈ R: arctg 𝑎 + 𝜋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝜋/2 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z.
6. tg 𝑥 ≤ 𝑎:
– при 𝑎 ∈ R: − 𝜋/2 + 𝜋𝑛 < 𝑥 ≤ arctg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z.
7. ctg 𝑥 ≥ 𝑎:
– при 𝑎 ∈ R: 𝜋𝑛 < 𝑥 ≤ arcctg 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z.
8. ctg 𝑥 ≤ 𝑎:
– при 𝑎 ∈ R: arcctg 𝑎 + 𝜋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝜋 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ Z.
Приклади розв’язування нерівностей
Тести
1. Виконайте тести за посиланням:
https://vseosvita.ua/test/start/cwz966
2. Виконайте інтерактивну вправу:
Підготовка до НМТ з математики
Виконайте завдання з теми за посиланням:
https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pokaznykovi_logharyfmichni_vyrazy/
Відео
Перегляньте навчальне відео:
Завдання для самостійної роботи
Published: Jul 25, 2023
Latest Revision: Jul 25, 2023
Ourboox Unique Identifier: OB-1480177
Copyright © 2023
