Зміст

1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 6

2. Приклади розв’язування рівнянь……………………7 – 14

3. Приклади розв’язування нерівностей…………….15 – 18

4. Тести………………………………………………………………….19 – 22

5. Підготовка до НМТ з математики…………………….23 – 24

6.Відео…………………………………………………………………..25 – 28

7. Завдання для самостійної роботи…………………..29 – 32

Теоретичні відомості

Означення: рівняння називаються логарифмічними, якщо вони містять невідому величину під знаком логарифма або в основі логарифма.

Означення: розв’язати логарифмічне рівняння – означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Способи розв’язування логарифмічних рівнянь

1) за означенням логарифма

2) методом потенціювання

3) методом зведення до однієї основи

4) зведенням до квадратного рівняння

5) методом логарифмування

6) із застосуванням властивостей логарифмів

7) графічним способом

Означення: логарифмічні нерівності – це нерівності, що містять змінну під знаком логарифма.

Розв’язування логарифмічних нерівностей ґрунтується на властивості монотонності логарифмічної функції.

Тому розв’язування нерівностей виду log_af(x) > log_ag(x)

зводиться до розв’язування відповідних нерівностей для функцій f(x) і g(x).

Приклади розв’язування рівнянь

За означенням логарифма

Завдання 1: Розв’яжіть рівняння log₂x=3

Розв’язання:

Спочатку знаходимо область допустимих значень (ОДЗ):  x>0, оскільки під знаком логарифма повинен бути додатний вираз.

Для розв’язання даного рівняння, достатньо скористатися означенням логарифма, тобто подати число x, як степінь основи 2 логарифма, причому показник степеня дорівнює 3.

log₂x=3

х =2³

х = 8

Знайдене значення належить ОДЗ, отже, є коренем рівняння.

Відповідь: x=8

Метод потенціювання

Завдання 2: Розв’яжіть рівняння log₅(x+1)=log₅(2x−3)

Розв’язання:

Знаходимо ОДЗ:

x+1>0  та  2x−3>0

x>−1         2x>3

x>−1         x>1,5

x ∈ (1,5;+∞)

Розв’язуємо рівняння

x+1=2x−3

x−2x=−3−1

−x=−4

x=4 – належить інтервалу  x ∈ (1,5;+∞) ,

отже, є коренем вихідного логарифмічного рівняння.
Відповідь: x=4

Метод зведення до однієї основи

Завдання 3: Розв’яжіть рівняння log₃x – 2log_⅓x = 3

Розв’язання:

Знаходимо ОДЗ:  x>0

Розв’язуємо рівняння

log₃x – 2log_⅓x = 3

log₃x + 2log₃x = 3

3log₃x = 3

log₃x = 3:3

log₃x = 1

Скористаємося означенням логарифма

х = 3¹

х = 3

Відповідь: х = 3

Зведення до квадратного рівняння

Завдання 4: Розв’яжіть рівняння log²₅x −4log₅x + 3 = 0

Розв’язання:

log²₅x −4log₅x + 3 = 0

Знаходимо ОДЗ:  x>0

Виконуємо заміну: log₅x = у,.

Тоді отримуємо квадратне рівняння:

у² – 4у + 3 = 0

D = 4² – 4 · 1 · 3 = 16 – 12 = 4

у₁ = 1;   у₂ = 3

Виконуємо обернену заміну:

log₅x = 1 або log₅x = 3

Скористаємося означенням логарифма

х = 5¹  або  х = 5³

х = 5           х = 125

Відповідь: х₁ = 5; х₂ = 125

Метод логарифмування

Завдання 5: Розв’яжіть рівняння х^lgх = 100х

Розв’язання:

х^lgх = 100х

Знаходимо ОДЗ:  x>0

Прологарифмуємо обидві частини рівняння

lgх^lgх = lg(100х)

lgх · lgх = lg100 + lgх

lg²х – lgх – 2 = 0

Виконуємо заміну: lgх = у

у² – у – 2 = 0

D = (-1)² – 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9

у₁ = – 1;    у₂ = 2

Виконуємо обернену заміну:

lgх = – 1   або lgх = 2

Скористаємося означенням логарифма

х = 10^-1  або  х = 10²

х = 0,1           х = 100

Відповідь: х₁ = 0,1; х₂ = 100

Застосування властивостей логарифмів

Завдання 6: Розв’яжіть рівняння

log₃(х + 1) + log₃(х + 3) = 1

Розв’язання:

log₃(х + 1) + log₃(х + 3) = 1

Знаходимо ОДЗ:

х + 1 > 0   та   х + 3 > 0

х > -1              х> – 3

Отже, х є ( -1; + ∞)

Розв’язуємо рівняння враховуючи, що сума логарифмів дорівнює логарифму добутку

log₃(х + 1)(х + 3) = 1

(х + 1)(х + 3) = 3

х² + 4х = 0

х(х + 4) = 0

х = 0   або   х = – 4

Число  – 4 не належить до ОДЗ рівняння

Відповідь: х = 0.

Приклади розв’язування нерівностей

Завдання 8: Розв’яжіть нерівність log₃x  > 2

Розв’язання:

log₃x  > 2

Знаходимо ОДЗ:  x > 0

Розв’язуємо нерівність.

Оскільки основа логарифма 3 > 1, то знак нерівності не змінюємо.

log₃x > log₃3²

log₃x > log₃9

х > 9

Відповідь: х є (0; + ∞)

Завдання 9: Розв’яжіть нерівність

log_0,7 (3x – 5)  < log_0,7 (х + 1)

Розв’язання:

Знаходимо ОДЗ:

3x – 5 > 0    та    х + 1 > 0

3х > 5                 х > – 1

х > 5 : 3

х > 1⅔

Отже, ОДЗ: х є (1⅔; + ∞)

Розв’язуємо нерівність.

Оскільки основа логарифма 0 < 0,7 < 1, то знак нерівності  змінюємо на протилежний.

3х – 5 > х + 1

3х – х >1 + 5

2х > 6

х > 6 : 2

х > 3

Відповідь: х є (3; + ∞)

Тести

1. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/xaa066

2. Виконайте інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання з теми за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pokaznykovi_logharyfmichni_rivnjannja_ta_systemy_rivnjan/

Відео

Перегляньте навчальне відео:

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1: Розв’яжіть рівняння (1-4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А-Д) на відрізку [-5;5]

Завдання 2: Розв’яжіть нерівності (1-4). Кожній нерівності поставте у відповідність множину всіх її розв’язків (А-Д)