Теоретичні відомості

Означення: Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх  з цього проміжку виконується рівність: F′(x) = f(x)

Операція зна­ходження первісних для даної функції називається інтегруван­ням.

Основна властивість первісної:

Якщо функція F (x) є первісною для функції f (x) на даному проміжку, а C — довільна стала, то функціяF (x) + C також є первісною для функції f (x), при цьому будь-яка первісна для функції f (x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F (x) + C, де C — довільна стала.

Геометрично основна властивість первісної означає, що графіки будь – яких первісних для даної функції одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі Oy.

Означення: інтегра́л  — одне із найважливіших понять математичного аналізу, яке виникає при вирішенні завдань:

– знаходження площі під кривою;

– пройденого шляху при нерівномірному русі;

– маси неоднорідного тіла, і тому подібних.

Означення: ви́значений інтегра́л — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування.

Означення: криволінійна трапеція — фігура на площині, обмежена графіком невід’ємної неперервної функції , визначеною на відрізку [a; b], віссю абсцис і прямими та .

Для знаходження площі криволінійної трапеції користуються визначеним інтегралом:

Для обчислення визначеного інтегралу використовують формулу Ньютона – Лейбніца:

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 1: Які з функцій є первісними для функції f(x) = – 2.

1) F(x)= 3х;

2) F(x)= – 3х + 1;

3) F(x)= – 2х;

4) F(x)= – 2х + 7.

Розв′язання:

1) і 2) – не є первісними;

3) і 4) – є первісними для даної функції, оскільки

F′(x) = (- 2х)′ = – 2,

F′(x) = (- 2х + 7)′ = – 2.

Відповідь: 3) і 4)

Задача 4: Для даної функції  f (x) знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А( 2; – 2).

f (x) = 9х² – 2х

Розв′язання:

F(x) = 9 ·  х³ – 2 ·  х² = 3х³ – х² + С

Знаючи, що графік проходить через точку А( 2; – 2), запишемо:

-2 = 3·2³ – 2²  + С

С = -2 – 24 + 4

С = – 22

Тому F(x) = 3х³ – х² – 22

Відповідь: F(x) = 3х³ – х² – 22

Тести

1. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/sgu833

2. Виконайте інтерактивну вправу:

Відео

Перегляньте навчальне відео: