Зміст

1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 14

2. Приклади розв’язування типових завдань…….15 – 22

3. Тести………………………………………………………………….23

4. Підготовка до НМТ з математики…………………….24

5.Відео…………………………………………………………………..25 – 28

6. Завдання для самостійної роботи…………………..29 – 30

Теоретичні відомості

Прямокутні координати у просторі

Три попарно перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці О називаються координатними осями: вісь х – вісь абсцис, вісь у – вісь ординат,

вісь z – вісь аплікат.

Точку О називають початком координат.

Через кожну пару цих прямих проведемо координатні площини Oxy, Oxz, Oyz. Утворену в такий спосіб систему координат називають прямокутною декартовою системою координат у просторі.

Якщо задано систему координат у просторі, то кожній точці простору можна поставити у відповідність три впорядковані дійсні числа х, у, z, і навпаки: кожній трійці чисел х, у, z — єдину точку простору.

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 1: Задано точки А(1;2;3), В(0;1;2), С(1;0;0), D(1;0;2).

Які з цих точок лежать:

1)у площині XOZ;

2)на осі ОХ;

3)у площині YOZ?

Розв’язання:

1) Якщо точка лежить у площині XOZ, то координата у дорівнює 0, у площині XOZ лежать точки С(1;0;0) і  D(1;0;2).

2) Якщо точка лежить на осі ОХ, то координати у і z дорівнюють нулю, отже, на осі ОХ лежить точка С(1;0;0).

3) У площині YOZ лежить точка В(0;1;2).

Задача 2: Знайдіть відстань між точками А(5;-3;2) і С(12;-5;-1)

Розв’язання:

Знайдемо довжину відрізка АС за формулою:

Задача 3: Знайдіть координати середини відрізка BD, якщо В(9;-1;3), D(8;-7;-2)

Розв’язання:

Знайдемо координати середини відрізка BD точки О

Задача 4: Знайдіть на осі z точку, яка рівновіддалена від точок А (6; -3; 2) і В (2; 4; -1).
Розв’язання:
Нехай точка Х лежить на осі z, отже її координати Х (0; 0; z). За умовою точка Х рівновіддалена від точок А і В, отже

Знайдемо довжину відрізка АХ за формулою:

Прирівнюємо:

        Запишіть відповідь самостійно.   

Задача 5: Існують точки А(2; 0; 1), В(3; 5; 0), С(-1; 2; 3). Знайти координати вектора  а = 2АВ – 3ВС

Розв’язання:

Знайдемо координати векторів:

АВ = (3 – 2;5 – 0;0 – 1) = (1;5;-1)

ВС = (-1 – 3;2 – 5;3 – 0) = (-4;-3;3)

Скориставшись правилами виконання дій над векторами, заданими координатами, маємо:

2АВ = 2(1;5;-1) = (2;10;-2)

3ВС = 3(-4;-3;3) = (-12;-9;9)

а = 2АВ – 3ВС = (2;10;-2) – (-12;-9;9) =

= (2 + 12;10 + 9;-2 – 9) = (14;19;-11)

Отже, координати вектора а = (14;19;-11)

Тести

1. Пройдіть вебквест за посиланням:

https://vseosvita.ua/webquest/start/s/2925/319583-c67b5170

2. Виконайте інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-koordinati_ta_vektori_u_prostori/

Відео

Перегляньте навчальне відео:

Завдання для самостійної роботи

1. Що називають вектором?

2. Що таке модуль вектора?

3. Які вектори називаються рівними?

4. Вкажіть розміщення точки А(0;8;0).

5. Вкажіть розміщення точки В(1;-2;0).

6. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(2;-11;0), В(4;7;6).

7. Знайдіть координати вектора АВ, якщо А(8;-2;3), В(3;4;-3).

8. Знайдіть модуль вектора с, якщо він має координати с(2;-3;6).

9. Чому дорівнює скалярний добуток векторів ā(3;-1;2) і ƀ(-1;-5;7)?

10. Кут між векторами a і b дорівнює 30°. Знайдіть скалярний добуток векторів, якщо |a| = 5, |b| = 10.