Зміст

1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 12

2. Приклади розв’язування типових завдань…….13 – 18

3. Тести………………………………………………………………….19 – 20

4. Підготовка до НМТ з математики…………………….21

5.Відео…………………………………………………………………..22 – 26

6. Завдання для самостійної роботи…………………..27 – 28

Теоретичні відомості

Означення: Похідною функції y=f(x) у точці х₀ називають границю відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням. Похідну позначають f′(х)

Фізичний зміст похідної: Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється за законом s=s(t), то швидкість її руху v(t) у момент t дорівнює похідній s′(t):   v(t)=s′(t).

Геометричний зміст похідної: Значення похідної функції у = f(x) в точці x_o дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x_o:

Правила диференціювання

Рівняння дотичної до графіка функції

у = f′(х) (х – x_o) + f(x_o)

Таблиця похідних

Похідна складеної функції

Похідну складеної функції y=f(g(x)) знаходять за формулою

y′_x=y′_u ⋅ u′_{x ,}

де u=g(x), або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Означення: Ознака сталості функції:

Якщо f ’(x ) = 0 в усіх точках проміжку (а; b), то функція

f (x) стала на цьому проміжку.

Означення: Ознаки зростання (спадання) функції:

Якщо f ’(x) > 0 при всіх х є (a; b), то функція f (x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f ’(x) < 0 при всіх х є (a; b), то функція f (x) спадає на цьому проміжку.

Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:

1.Знайти область визначення заданої функції у = f(x).

2.Знайти похідну f'(x).

3. Розв’язати нерівності

а) f'(x) > 0, указати проміжки зростання функції у = f(x);

б) f'(x) < 0, указати проміжки спадання функції у = f(x)·

Критичні точки функції, точки екстремуму

Означення: Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції.

Точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму.

Значення функції в точках мінімуму і максимуму називають екстремумами функції.

Точки максимуму позначають: х_max, х_min. Значення функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються: у_max і у_min.  

Необхідна умова екстремуму

У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує.

Тобто х₀ – точка екстремуму функції, якщо f ’(x) = 0 або

f ’(x) – не існує.

Достатня умова екстремуму

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і похідна f ’(x) змінює знак при переході через точку х₀, то х₀ – точка екстремуму функції f(x).

Якщо при переході через х₀ похідна f ’(x) змінює знак

з “+” на “-“, то  х₀ – точка максимуму.

Якщо при переході через х₀ похідна f ’(x) змінює знак

з “-” на “+”, то х₀  – точка мінімуму.

Найбільше та найменше значення функції

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [а; b] треба:

1) знайти значення функції на кінцях проміжку, тобто числа f(a) і f(b);

2) знайти значення функції в тих критичних точках, які на­лежать проміжку [а; b];

3)   із знайдених значень вибрати найбільше та найменше.

Загальна схема дослідження функції

1. Знаходимо область визначення функції.

2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями.

3. З’ясовуємо парність (непарність), періодичність функції.

4. Знаходимо похідну та критичні точки.

5. Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму та екстремуми функції.

6. У разі необхідності знаходимо координати додаткових точок, щоб точніше побудувати графік функції.

7. Будуємо графік функції.

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 1: Знайти похідну функції:

1) у = Х¹⁰

Розв’язання:

у ‘ = 10х⁹

2) у = 1/х⁸

Розв’язання:

у ‘ = (х^-8)’ = -8х^-8-1 = -8х^-9

Задача 2: Знайти похідну функції у = Х⁶ у точці х₀ = -1.

Розв’язання:

у ‘ = 6х⁵

у ‘(х₀) = 6 · (-1)⁵ = -6

Задача 3: Знайти похідну функції:

1) у = 5х⁴

Розв’язання:

у ‘ = 5 · 4 х³ = 20х³

2) у = 1/3Х⁶

Розв’язання:

у ‘ = 1/3 · 6 х⁵ = 2х⁵

Задача 4: Знайти похідну функції у = 7 – Х²

Розв’язання:

у ‘ = 7’ – (Х²)’ = 0 – 2х = 2х

Задача 5: Записати рівняння дотичної до графіка функції

у = х² – 2х в точці х₀ = 3.

Розв’язання:

у = f′(х) (х – x_o) + f(x_o) – рівняння дотичної.

у’ = 2х – 2

у'(х₀) = 2 ·3 – 2 = 4

у(х₀) = 3² – 2 · 3 = 3

Тоді у = 4(х – 3) + 3 = 4х – 12 + 3 = 4х – 9

Отже, рівняння дотичної до графіка функції має вигляд

у = 4х – 9.

Задача 6: Знайти похідну складеної функції  y=sin⁵x

Розв’язання:

У записі функції y=sin⁵x необхідно побачити одну за другою дві функції: синус і степінь. Це легше зробити якщо вона записана в вигляді   y=(sin x)⁵.

у’=(sin x)⁵=U⁵, де U=sin x

у’= (U⁵)^‘ · (sin x)^‘ = (5U⁴) · (cos x)=5sin⁴xcosx

Отже, у’ = 5sin⁴xcosx.

Задача 7: Знайти проміжки монотонності функції

у = х³ – 3х².

Розв’язання:

Область визначення функції: D(y) = R.

Знаходимо похідну у’ = 3х² – 6х.

Розв’язуємо нерівності: а) у’ > 0; б) у’ < 0. Розв’язуємо ці не­рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по­хідної: 3х² – 6х = 0, 3х(х – 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму нулі похідної і ви­значаємо знаки похідної на кожному проміжку:

y'(-1) = 3 · (-1)² – 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І² – 6 – 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 3² – 6 · 3 = 27 – 18 = 9 > 0.

а) у’ > 0 в кожному із проміжків (-; 0); (2; +), отже, функція на цих  проміжках зростає.

б) у’ < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.

Отже, функція зростає на кожному із проміжків

(-;0);(2;+); спадає на проміжку (0; 2).

Тести

1. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/mac798

2. Виконайте інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pokhidna_funkciyi/

Відео

Перегляньте навчальне відео:

Завдання для самостійної роботи

1. Знайдіть похідну функції:

а) f(x) = -5;

б) f(x) = х;

в) f(x) = х²;

г) f(x) =  1/х⁴.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х₀:

а) f(x) = sinx, х₀ = π/2;

б) f(x) = 3х³ – 2х, х₀ = -1

3. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції

f(x)  = 9х – 4х² в точці з абсцисою х₀ = 1.