Зміст

1.Теоретичні відомості…………………………………………3 – 14

2.Приклади розв’язування типових завдань………15 – 20

3.Тести……………………………………………………………………21 – 22

4.Підготовка до НМТ з математики………………………23 – 24

5.Відео……………………………………………………………………25 – 27

6.Завдання для самостійної роботи……………………..28

Теоретичні відомості

Познайомимося з поняттями синуса, косинуса, тангенса і котангенса будь – якого кута за допомогою одиничного кола.

Означення: Коло з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює 1, називається одиничним колом.

Означення: Синусом кута називають ординату точки одиничного кола, яка відповідає даному куту.

Означення: Косинусом кута називають абсцису точки одиничного кола, яка відповідає даному куту.

Означення: Тангенсом кута називають відношення синуса  даного кута до його косинуса.

Означення: Котангенсом кута називають відношення косинуса  даного кута до його синуса.

Синус, косинус, тангенс і котангенс разом називають тригонометричними функціями.

Знаки тригонометричних функцій

Кути вимірюють у градусах та радіанах.

Градусна і радіанна міри кутів пов’язані такими залежностями:

Точні значення тригонометричних функцій при деяких значеннях аргументу наведені в таблиці:

Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Формули зведення

Правило зведення

Якщо кут даної тригонометричної функції відкладається від вертикального діаметра, то її замінюють кофункцією, якщо ж – від горизонтального діаметра, то її назву не змінюють.

Знак ставлять такий, який має значення даної функції за умови, що кут гострий.

Властивості та графіки тригонометричних функцій

1. y = sinx

2. y = cosx

3. у = tg х

4. у = ctg х

Періодичність тригонометричних функцій

Означення: Функція  називається періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа х + Т  та х – Т  також належать області визначення і виконується умова: f (х) = f (х + Т) = f (х – Т).

Найменшим додатним періодом функцій sinx і cosx

є число 2π.

Для функцій tg х і ctg х найменший додатний період π.

Формула для знаходження найменшого додатного періода функції у = А · f (kx + m) + B

Т =Т₁ / lkl

Парність та непарність тригонометричних функцій

Означення: Функція називається парною, якщо для будь – якого х з області визначення виконується рівність:

f(-х) = f(х).

Означення: Функція називається непарною, якщо для будь – якого х з області визначення виконується рівність:

f(-х) = – f(х).

Синус, тангенс і котангенс є непарними функціями.

Косинус – функція парна.

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 1: Запишіть у радіанній мірі кути:

Задача 2: Запишіть у градусах кут, радіанна міра якого дорівнює:

Задача 3: Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам:

а) π/6 + 2πn , π/4 + 2πn, π/3 + 2πn, π/2 + 2πn, 2π/3 + 2πn, 3π/4 + 2πn , 5π/6 + 2πn, 7π/6 + 2πn, 5π/4 + 2πn, 4π/3 + 2πn, 5π/3 + 2πn, 7π/4 + 2πn, 11π/6 + 2πn, де n є Ζ.

Підказка: використайте матеріал із задачі 2.

Задача 4: Обчисліть: а) sin π + sin 1,5π;

б) cos0 + cos 3,5π – cos 3π.

Розв’язання:

а) sin π + sin 1,5π = 0 + ( -1) = -1;

б) cos0 + cos 3,5π – cos 3π = 1 + 0 – (-1) = 1 + 1 = 2

Задача 5: Визначте знак числа: а) tg 3π/4 ; б) tg (- 5π/6) ; в) ctg ( – π/3).

Розв’язання:

а) tg 3π/4 = 3 · 180°/4 = 135° – знак мінус(2 чверть);

б) tg (- 5π/6) = -5 · 180°/6 = -150° – знак плюс(2 чверть, мінус на мінус = плюс);

в) ctg ( – π/3) = -180°/6 = -30° – знак мінус(1 чверть).

Задача 6: Спростіть вираз: ctg(-х) ·  tg(-х) – sin² х

Розв’язання:

ctg(-х) ·  tg(-х) – sin² х = – ctg х · (-tg х) – sin² х = 1 – sin² х = cos²х.

Ми використали тригонометричну формулу, а також дослідили функції тангенса і котангенса на парність (непарність).

Задача 7: Спростіть вираз:

Ми використали формули зведення.

Задача 8: Знайдіть період функції: у = 3 sin(2х + π/6).

Розв’язання:

Формула Т =Т₁ / lkl = 2π/2 = π.

Відповідь: Період функції дорівнює π.

Задача 9: Дослідити  на  парність функцію f(x)=3x-tgx.

Розв’язання:

f(-х) = 3 · (-х) – tg(-x) = -3х + tgx = – (3x-tgx) = –f(х).

Відповідь: дана функція є непарною.

Тести

1. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/dgu796

2. Виконайте інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pokaznykovi_logharyfmichni_tryghonometrychni_funkciyi/

Важливо!

Виконуйте тільки ті завдання, які стосуються теми: “Тригонометричні функції”

Відео

Перегляньте навчальні відео:

Завдання для самостійної роботи

1.Чому дорівнює радіанна міра кута 180° ?

2. Переведіть градусну міру кута 135° в радіанну.

3. Чому дорівнює градусна міра кута π/2?

4. Переведіть радіанну міру кута π/3 в градусну.

5.Спростіть вираз: 1 – сos²х.

6. Спростіть вираз: (1 – sin² х) · tg²х.

7. Для функції у = tg х знайти у(π/3).

8. Який знак має вираз sin112° ?

9. Який знак має вираз сos 221° ?

10.Яке з тверджень про функцію є неправильним ?

а) множина значень функції Е(у) = [-1;1]

б) функція непарна;

в) функція зростає на проміжку (-∞;+∞) .