الدالة الخطية من صورة

y=mx

صفات الدالة الخطية من الصورة  y=mx

• تمر من نقطة الأصل (0 ، 0).

• تصف علاقة طردية أو علاقة عكسية.

• mهو ميل الدالة هو وتيرة تغير الدالة

ميل الدالة هو ارتفاع الدرجة التي عرضها 1.

او النسبة بين y و x  أي  m = y:x

كلما كانت القيمة المطلقة ل m |m| اكبر

 فان مستقيم الدالة أقرب الى محور y.

الدالة الخطية التي ميلها سالب هي دالة تنازلية.

الدالة الخطية التي ميلها موجب هي دالة تصاعدية

الدالة الخطية y= mx + b

الصورة العامة للدالة الخطية هي: y= mx + b

m هو ميل الدالة. اذا كان:

m>0  فان الدالة تصاعدية، والزاوية التي يكونها المستقيم مع محور x في الاتجاه الموجب تكون حادة.

m<0  فان الدالة تنازلية، والزاوية التي يكونها المستقيم

مع محور x في الاتجاه الموجب تكون منفرجة.

m=0  فان الدالة ثابتة وتكون من الصورة y=b  .

مستقيم الدالة خط أفقي موازٍ لمحور x .

بحث في الدالة الخطية y= mx + b

• نقطة تقاطع الدالة مع محور y هي (x=0,y= b)  في هذه النقطة يتحقق x=0  .

• نقطة تقاطع الدالة مع محور xهي (x, 0)  في هذه النقطة يتحقق y=0 .

تسمى هذه النقطة: النقطة الصفرية لأن قيمة y فيها هي صفر.

لكي نجد نقطة تقاطع الدالة مع محور x نعوض في الدالة y=0  ونجد x.

مثال:        y=3x – 12

0=3x – 12

12=3x

4=x

أي ان نقطة التقاطع (النقطة الصفرية) هي: (0, 4)

يمكن استعمال القالب الجبري للنقطة الصفرية :

(-b/m   , 0 )

 الذي نحصل   عليه من تعويض :

 y =0

في المعادلة العامة

y= mx + b

0= mx + b

-b= mx /:m

-b/m   =x  

• للمستقيمات المتوازية يوجد ذات عدد الميل .

• المستقيمات التي لها m متساوٍ ، هي مستقيمات متوازية.

•   ايجاد معادلة الدالة الخطية بواسطة مَيْل ونقطة

  معادلة الدالة y=mx + b

  m معطى ، يجب ان نحسب b.

  نعوض احداثيي النقطة في المعادلة العامة للمستقيم، ونعوض قيمة m في ذات المعادلة ، ونحسب b.

  مثال: جد معادلة المستقيم الذي يمر عبر النقطة (7, 1) وميله 3

  y= mx + b

      m=3،    x=1  ،      y=7

  نعوض في معادلة الدالة فنحصل على

•  7=3*1+b ·

  b=4

  معادلة المستقيم

  y=3x + 4

   

• ايجاد معادلة الدالة الخطية بواسطة نقطتين

• نحسب الميل، عن طريق التعويض في قاعدة الميل :

• m=( y2- y1) / (x2 -x1)

• نحسب b، حيث نعوض الميل واحداثيي احدى النقطتين في المعادلة.

• نكتب معادلة المستقيم.

y=mx +b

مثال: جد معادلة الدالة الخطية التي تمر عبر النقطتين (32, 8) , (7, 3)

                             5= (m=(32 -7)/ (8-3

نختار احدى النقطتين مثلا (3,7)

نعوض في معادلة الدالة m=5 , x=3 , y=7     ونحسب b.

7=5·3 + b

7= 15 + b / -15

-8=b

معادلة الدالة هي :   y = 5x – 8

• 
  

  متى تكون الدالة الخطية موجبة؟ سالبة؟

• دالة تصاعدية:

نجد نقطة تقاطع الدالة مع محور x أي نعوض y=0  ونجد x .

عن يمين النقطة، تحصل الدالة على قيم موجبة.

عن يسار النقطة تحصل الدالة على قيم سالبة.

• دالة تنازلية:

نجد نقطة تقاطع الدالة مع محور x أي نعوض y=0  ونجد x .

عن يمين النقطة، تحصل الدالة على قيم سالبة.

عن يسار النقطة تحصل الدالة على قيم موجبة.

وبطريقة اخرى:

تكون الدالة موجبة عندما  f(x)>0

وتكون الدالة سالبة عندما  f(x)<0

مثال: معطى الدالة  f(x)= x + 2

الدالة موجبة عندما 

         x + 2> 0  

                 x>-2

الدالة سالبة عندما  

         x + 2< 0  

                   x<-2   

نقطة تقاطع دالتين  f(x), g(x)

نحل المعادلة f(x) = g(x)    لكي نجد إحداثي  x  المشترك .

مثال: ما هي نقطة تقاطع الدالتين f(x)=-2x + 3

  ,    g(x)= 3x – 7

نحل المعادلة  3x – 7 = – 2x + 3

                               3x +2x = 3 +7

         10=5x

                      x=2

نعوّض قيمة x  ، الناتج من المساواة في احدى المعادلتين حتى نجد احداثي y  المشترك .

نختار مثلاً الدالة  g(x)  .

g(x)= 3x – 7

g(2) = 3∙2 -7 = -1

النقطة  ( 1- ، 2 ) هي نقطة مشتركة للدالتين ، نقطة تقاطع  / التقاء الدالتين .

مساحة مثلث قائم الزاوية

نصف حاصل ضرب ضلعيه القائمين .

طول الضلع هو عدد موجب دائمًا .

بُعد نقطة عن محور x هو القيمة المطلقة لإحداثي y  لها.

بُعد نقطة عن محور y هو القيمة المطلقة لإحداثي x  لها.

البُعد هو قطعة مستقيمة عمودية .

مساحة أي مثلث :  نصف حاصل ضرب أي ضلع × ارتفاع هذا الضلع .

ارتفاع المثلث هو قطعة عمودية تمتد من زاوية إلى ضلع مقابل لها ، أي أن الارتفاع هو  البُعد بين زاوية وضلع مقابل لتلك الزاوية .

مثال :

معطى معادلتان لدالتين خطيتين :

   y =2x-8         و       y=7-x 

جد لكل دالة نقطة التقاطع مع المحورين ؟

جد نقطة تقاطع الدالتين ؟

أرسم رسمًا تقريبيًا ملائمًا يصف الدالتين ؟

احسب مساحة المثلث المحصور بين مستقيمي الدالتين ومحور x ؟

احسب مساحة المثلث المحصور بين مستقيمي الدالتين ومحور y؟

الحل :

نقطة التقاطع مع محور y   للدالة f(x)  هي ( 8 – ، 0 )

نقطة التقاطع مع محور y   للدالة g(x)  هي ( 7  ، 0 )

نقطة التقاطع مع محور x   للدالة f(x)  هي ( 0 ، 4 )

نقطة التقاطع مع محور x  للدالة f(x)  هي ( 0  ، 7 )

نقطة تقاطع الدالتين التي تنتج من معادلة f(x) =g(x)    أي

+8   /    7 -x = 2x – 8   /   +x

3x=15  / :3

x=5

نعوض x=5 في إحدى معادليتي الدالتين ونحسب الإحداثي y  لنقطة التقاطع :

النقطة المشتركة ( 2 ، 5 )

من النقطة المشتركة ، نقطة التقاطع نحصل على مثلثين ، مثلث مع محور y والآخر مع محور x  .

مساحة المثلث الناتج من خطي الدالتين ومحور y :

الإرتفاع = 5 وحدات ( حسب الإحداثي x للنقطة المشتركة ) ، والضلع عبارة عن 15 وحدة  ( 15=8- – 7)

لذلك المساحة :    37.5 وحدة مساحة = 2: 5*15   .

مساحة المثلث الناتج من خطي الدالتين ومحور x :

الإرتفاع = 2 وحدات ( حسب الإحداثي y للنقطة المشتركة ) ، والضلع عبارة عن 3 وحدات ( 3=4 – 7)

لذلك المساحة :  3 وحدات مساحة = 2 : 2 *3    .

ما الذي تعلمته من خلال مطالعتي لصفحات الكتاب ؟