Розділ 1.  ДИНАМІКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ

1.1. Момент інерції

На відміну від поступального руху, де мірою інертності тіла є тільки його маса, у випадку обертального руху інертність тіла визначається як масою тіла так і розподілом маси відносно осі обертання. Тому для кількісної характеристики інертності тіл при їх обертальному русі вводиться фізична величина – момент інерції.

Моментом інерції тіла відносно деякої нерухомої осі  OZ є величина , що визначається рівністю.

.                        (1.1)

де   _і – маса і-ї частинки тіла, яке умовно “розбивається” на N

частинок, настільки малих, що для кожної з них можна

однозначно  вказати – відстань частинки від осі OZ

Момент інерції тіла відносно осі дорівнює сумі добутків елементарних мас  тіла на квадрати їх віддалей від осі обертання.

Зауважимо, що момент інерції існує незалежно від того, обертається тіло навколо деякої осі, чи перебуває відносно цієї осі у стані спокою.

Момент інерції – величина скалярна, вимірюється  в  кг·м².

Від (1.1) можна перейти до розрахунку інтеґралу:

.                           (1.2)

Якщо густина тіла     –  величина стала, то формула      (1.2)   набуде вигляду:

.                            (1.3)

Використовуючи (1.3), можна розрахувати моменти інерції тіл правильної ґеометричної форми, зокрема:

=  .          (1.8)

Врахувавши, що:

– об’єм циліндра,         – маса циліндра,

одержимо:

.                        (1.9)

1.2. Теорема Штайнера

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через його центр мас – , то момент інерції відносно осі, паралельної до вказаної – J_Z, визначається за теоремою Штайнера:

Момент інерції тіла  J_z  відносно довільної осі дорівнює сумі  моменту інерції  J_С  відносно осі, паралельної даній, що проходить через центр мас тіла і добутку маси тіла  m на квадрат відстані між осями  d .

    .                 (1.10)

1.4. Момент імпульсу

         Іншою важливою динамічною характеристикою обертального руху є момент імпульсу.

Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомого центру О визначається як :

,                            (1.14)

де -радіус-вектор, проведений з центру О до матеріальної точки

–імпульс  матеріальної точки

Якщо тверде тіло здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі  OZ, то вводиться поняття моменту імпульсу відносно нерухомої осі.

Момент імпульсу матеріальної точки відносно осі ОZ  L_z дорівнює проекції на вісь OZ величини  .

Mомент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі дорівнює сумі моментів імпульсів елементарних мас цього тіла відносно вказаної осі.

(1.15)

і враховуючи, що

,                      (1.16)

одержуємо інший вираз для моменту імпульсу відносно осі

,          (1.17)

де  – кутова швидкість тіла,

J_z – момент інерції тіла відносно осі ОZ.

1.5. Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла.

Закон збереження моменту імпульсу

Співвідношення, що зв’язує між собою момент сили, який діє на тіло, і момент імпульсу цього тіла у випадку обертального руху навколо нерухомого центру має вигляд:

 .                         (1.18) 

При обертанні тіла навколо нерухомої осі  OZ з кутовою швидкістю  лінійна швидкість i –ї точки становить     ,

де  R_i – відстань точки до осі OZ

Отже:                    .         (1.23)

Співставлення формули (1.23) з формулою для кінетичної енергії поступального руху    підтверджує факт, що момент інерції тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі.

1.7. Аналоґії між формулами механіки поступального і обертального рухів