liceo matematico

INDICE

1)Un po’ di storia

2)Vita di Nepero

3)I logaritmi nel corso del tempo

4)La storia del numero di Nepero

5)I bastoncini di Nepero

6)Cosa è un modello matematico

7)I vari tipi di modelli matematici

8)Modello deterministico

9)Modello stocastico

10)Modello di Malthus

11)Modello matematico per la datazione col carbonio 14

12)Modelli matematici per la diffusione delle epidemie

UN PO’ DI STORIA…

Nel Seicento si misero in discussione tutta una serie di credenze scientifiche consolidate e si verificò un cambiamento radicale nel modo di osservare e studiare i fenomeni naturali; per la portata e le conseguenze di questo fenomeno, si parla di una vera e propria “rivoluzione scientifica”.

La prima fondamentale credenza a essere superata fu la visione aristotelico-tolemaica del cosmo, sconfessata dalla nuova teoria eliocentrica dall’astronomo Niccolò Copernico. Il mondo fisico iniziò ad essere studiato no sulla base di scritti considerati incontestabili, ma attraverso un’osservazione diretta dei fenomeni naturali e una loro attenta misurazione con strumenti scientifici sempre più affidabili. Figura fondamentale fu Galileo Galilei, considerato l’iniziatore del metodo sperimentale, base della scienza moderna che prevede due fasi di lavoro: quella ipotetica in cui lo scienziato elabora delle ipotesi sui fenomeni osservati, e quella deduttiva in cui analizza i risultati degli esperimenti e arriva a delle conclusioni. Con le sue scoperte astronomiche Galileo dimostrò la validità della teoria eliocentrica, che però era stata dichiarata eretica dalla Chiesa. Per questo anche i suoi scritti furono condannati e Galileo fu costretto dal Tribunale dell’Inquisizione ad abiurare le sue idee. In un clima di intolleranza, altri filosofi furono perseguitati dalla Chiesa, come Giordano Bruno che finì sul rogo, e Tommaso Campanella che passò 30 anni in carcere.

Ma le condanne dell’autorità ecclesiastiche non fermarono lo sviluppo scientifico e la nuova mentalità: il filosofo francese Cartesio affermò che tutto il mondo naturale andava investigato con metodo deduttivo, il matematico Isaac Newton enunciò le leggi della gravitazione universale e del calcolo infinitesimale. Le scoperte scientifiche avevano anche importanti implicazioni tecniche e per questo i governanti finanziarono la ricerca attraverso l’istituzione di accademie.

VITA DI NEPERO

John Napier, noto come Giovanni Nepero o, più spesso, semplicemente Nepero[1] (Merchiston Castle, 1550 – Edimburgo, 4 aprile1617), è stato un matematico, astronomo e fisico scozzese, celebre soprattutto per l’introduzione del logaritmo naturale

Non era un matematico di professione, bensì un ricco proprietario terriero scozzese di nobile famiglia che riusciva a condurre i suoi poderi con efficace razionalità. Della sua vita non si hanno molte notizie e in particolare non è chiaro dove abbia potuto ricevere una buona educazione umanistica e matematica; si può solo congetturare che abbia frequentato una università europea, forse quella di Parigi.

Nepero stesso ci informa di aver lavorato alla sua proposta concernente i logaritmi per venti anni, fino a pubblicare nel 1614 la Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrizione della regola meravigliosa dei logaritmi

Sentiva in modo particolare la necessità di costruire un sistema che consentisse l’esecuzione di calcoli con grande velocità. Al riguardo, nel suo libro Rabdologiae dato alle stampe nel 1617, affermava: Eseguire calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica ….

Partecipò attivamente alle dispute teologiche dell’epoca, assumendo una posizione di fervente protestante e aspro oppositore del Papato. Sull’argomento pubblicò il libro Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John.

Egli si dedicò anche all’astrologia e sostenne che l’Apocalisse si sarebbe verificata nel 1700 o nel 1888.

La diffusione del calcolo mediante logaritmi costituisce un fatto di grande importanza storica. Mediante i logaritmi Keplero riuscì a elaborare i dati astronomici fino alle considerazioni che gli consentirono di formulare le sue leggi, con le conseguenze sullo sviluppo dell’astronomia e della fisica che vedono in particolare le acquisizioni di Newton. Come Nepero aveva previsto, i calcoli mediante i logaritmi hanno consentito di ridurre vistosamente i tempi dei calcoli, fino a far dire a Laplace che Nepero aveva “raddoppiato la vita degli astronomi”. I calcoli mediante i logaritmi hanno contribuito allo sviluppo di una mentalità quantitativa anche nelle attività tecnologiche e finanziarie e hanno avuto un’influenza molto rilevante sullo sviluppo dei commerci e delle attività imprenditoriali e sulla nascita del mondo industriale a partire dalla seconda parte del XVII secolo.

Fu sepolto alla St Cuthbert’s Church, in Edimburgo.

I LOGARITMI NEL CORSO DEL TEMPO

Sebbene sia ampiamente riconosciuto in Nepero il titolo di inventore del concetto di logaritmo, va notato come in tempi antecedenti in molti abbiano individuato alcune idee fondamentali per la sua ideazione.

Sia i Babilonesi che gli Egizi studiarono problemi legati alla vita quotidiana che utilizzano progressioni aritmetiche e geometriche e, anche se non costruirono teorie, nei loro documenti sono state individuate alcune idee che portarono molto più tardi alla nascita del concetto di logaritmo.

È stata ritrovata una tavoletta babilonese, risalente al 2000 a.C. circa, su cui si legge il seguente problema: “Un capitale di una mina, posto all’interesse del 20% dopo 5 anni raddoppia; se il capitale così raddoppiato si mette a frutto e dopo 5 anni si reinveste tutto il capitale raddoppiato e così via…, quale sarà il capitale accumulato dopo 6 lustri?” (un lustro = 5 anni; la mina era una moneta in uso presso i Babilonesi).

Nel Papiro di Rhind, un importante documento della matematica Egizia, scritto intorno al 1650 a.C. e contenente una raccolta di calcoli, tabelle e problemi con le relative soluzioni, si legge il seguente problema: “Se ti dicono: si hanno 10 misure di grano distribuito tra 10 persone in modo che la differenza tra ciascuna persona e la successiva, in grano, sia 1/8, fai così: prendi la misura intermedia e chiamala 1, fai la metà della differenza, cioè 1/16, prendi questa nove volte, ottieni 1/2+1/16, aggiungi a questo la razione intermedia”

In Grecia Pitagora (circa 540 a.C.) utilizzò le progressioni nei numeri figurati (numeri interi che possono essere rappresentati mediante uno schema geometrico regolare, nel piano o nello spazio); Euclide (circa 300 a.C.) parlò delle progressioni a proposito dei numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei suoi divisori propri, cioè tutti tranne se stesso, 1 incluso. La successione dei numeri perfetti comincia con 1, 6, 28, 496, 8.128).

Archimede di Siracusa  esamina la “legge degli esponenti” nella sua opera “Arenario”, opera molto importante per la storia della matematica e dell’astronomia.

I LOGARITMI

I Logaritmi fanno la loro prima apparizione durante la Rivoluzione scientifica: le enormi scoperte nel campo dell’astronomia (Keplero per esempio ne fece grande uso) e della navigazione necessitavano di un robusto apparato matematico, ma soprattutto di un operatore in grado di rappresentare numeri molto grandi o molto piccoli. Micael STIFEL (Esslingen, 1487 – Jena,1567, Germania) Può essere considerato il pre-inventore dei logaritmi: nella sua opera “Aritmetica Integra” (1544) per la prima volta compare il calcolo di potenze con esponenti razionali non interi e realizza uno schema.

Dopo 50 anni, nel 1614, Nepero, prendendo spunto dagli studi effettuati da Stifel, introduce i logaritmi per la prima volta nel suo libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, con la speranza di fornire uno strumento che rendesse più veloci i calcoli degli astronomi.

L’idea di Nepero fu quella di utilizzare una progressione geometrica per poter effettuare il prodotto tra due numeri solamente mediante l’utilizzo delle potenze.

I logaritmi sono degli operatori matematici, indicati generalmente con logab. Il logaritmo di un numero in una determinata base (a) è l’esponente a cui si deve elevare la base per ottenere il numero stesso. Essi trovano un’ampia applicazione nelle scienze e nell’ingegneria, soprattutto per la semplificazione dei calcoli molto grandi mediante l’utilizzo delle tavole logaritmiche. I logaritmi trovano applicazione anche nella vita quotidiana, infatti i nostri sensi sono in scala logaritmica: se ascoltiamo un suono e poi un altro suono che sembra di identità doppia, se lo si misura, si nota che ha un’intensità quattro volte superiore; stessa cosa avviene con i fenomeni luminosi.

LA STORIA DEL NUMERO DI NEPERO

Quello di cui stiamo parlando oggi è un numero molto importante, quanto il PI GRECO, ma fuori dall’ambiente matematico sono in pochi a comprenderne il valore. L’uso del Numero di Nepero è fondamentale nelle operazioni di matematica finanziaria. Su un’antica tavoletta babilonese ( siamo nel 1.700 a.C.) uno studioso si chiedeva quanto tempo tesse volerci ad una somma economica per raddoppiare se ogni anno aumentava del 20%. Per risolvere questo semplice esercizio i babilonesi avrebbero dovuto usare le equazioni esponenziali, che ancora non conoscevano.

Il numero e nasce molto probabilmente nel XVII-XVIII secolo, un’epoca in cui si stavano per avviare le grandi rivoluzioni industriali e c’era un grande interesse per il capitale e sui possibili guadagni. Il primo ad avvicinarsi molto al valore di questa costante matematica fu Bernulli che calcolò una cifra  compresa tra 2 e 3. Prima di lui altri avevano provato, come John Napier (in italiano Giovanni Nepero) a cercare un nuovo valore da assegnare alle basi dei logaritmi. Solo dopo la sua morte uscì un lavoro in cui la costante matematica venne chiamata con il nome che noi tutti oggi conosciamo.

Il numero di Nepero è una costante matematica indicata generalmente con la lettera “e”. Viene anche chiamata numero di Eulero ed è numero irrazionale trascende, cioè non si può esprimere con una frazione né come un numero con la virgola periodico. Questa caratteristica lo rende molto simile al PI GRECO.

Quanto vale il Numero di Nepero allora? E’ un numero positivo e vale 2,718, approssimando per eccesso a tre cifre decimali. In realtà ti accorgerai, risolvendo i vari esercizi sui logaritmi e sugli esponenziali che non è importante conoscere il valore del numero di Nepero.

Una volta capito che cos’è, cerchiamo ora di capire a cosa serve il numero di Nepero. Oltre ai calcoli possibili nella matematica finanziaria con gli interessi composti e le capitalizzazioni, le possibili applicazioni della costante di Nepero sono moltissime: dal calcolo delle probabilità allo studio di funzioni, dalla formula di Eulero usata per i numeri immaginari alla più semplice risoluzione delle equazioni logaritmiche.

I BASTONCINI DI NEPERO

Nel 1614 si hanno i famosi Bastoncini di Nepero, detti anche “ossi di Napier”, dal nome del matematico scozzese. Essi servivano per semplificare moltiplicazioni e divisioni e rimasero in uso per circa un secolo.

I suddetti bastoncini (o regoli) permettevano di moltiplicare o dividere un numero qualunque per un numero di una sola cifra, senza usare la Tavola Pitagorica. I regoli erano 11, ciascuno diviso in 10 quadrati. Questi, a loro volta, erano tagliati da una diagonale, sopra la quale stavano i numeri delle decine, mentre sotto stavano i numeri delle unità. Un regolo era fisso e gli altri mobili. Una delle tavolette viene detta INDICE e riporta, nei quadrati, i numeri da 0 a 9.

COSA È UN MODELLO MATEMATICO?

Un modello è un insieme di equazioni e altre relazioni matematiche che rappresentano fenomeni fisici, spiegando ipotesi basate sull’osservazione della realtà. In generale un modello si costruisce a partire da leggi generali (per esempio leggi di conservazione o di bilancio) e relazioni costitutive, di natura sperimentale.

Lo studio del modello viene fatto attraverso vari passi successivi:

– analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo)

-Ricerca di soluzioni approssimate, mediante algoritmi numerici.

-individuazione dei parametri di interesse.

-validazione del modello tramite opportuni esperimenti.

-analisi statistica dei dati raccolti.

-stima dei parametri, mediante il confronto tra dati sperimentali e risultati teorici.

-studio dell’adeguatezza del modello al fenomeno rappresentato.

I VARI TIPI DI MODELLI MATEMATICI

Un modello matematico può essere:

– descrittivo, cioè può descrivere il fenomeno senza spiegarne i meccanismi (regressione statistica, per esempio quando vengono assegnati valori alle variabili forniti da osservazioni statistiche)

-interpretativo cioè basato su ipotesi come leggi fisiche ( per esempio diffusione del calore )

-predittivo, che cerca di interpretare un fenomeno senza avere dati su osservazioni dirette (per esempio stima degli effetti su un ecosistema dell’inquinamento che verrà prodotto da una nuova fabbrica).

MODELLO DETERMINISTICO

Un modello deterministico è un modello fisico-matematico che tenta di prevedere numericamente l’evoluzione del sistema climatico, nello spazio-tempo, attraverso la soluzione approssimata (non analitica) del sistema di equazioni matematiche che descrivono le leggi fisiche (quelle classiche della meccanica e della termodinamica) che governano il sistema atmosfera.

Per ottenere questo risultato è necessaria la conoscenza dello stato di partenza, le cosiddette condizioni iniziali, attraverso il quale è possibile fornire i valori di inizializzazione delle variabili indipendenti del sistema di equazioni di cui è composto il modello stesso.

Una volta completato il processo di inizializzazione viene risolto il sistema di equazioni che compongono il modello deterministico, che evolve verso una unica soluzione.

In questo modo abbiamo ottenuto un risultato unico, numerico, per ogni punto nello spazio e ad ogni istante temporale futuro.

MODELLO STOCASTICO

Un modello stocastico è un modello costituito da un insieme finito di variabili casuali che dipendono da un parametro “t” , con il quale si indica generalmente il tempo, e dai valori che le singole variabili casuali hanno assunto nel passato, cioè con riferimento ad una base statistica di partenza.

L’inizializzazione delle variabili casuali avviene mediante l’identificazione della distribuzione di probabilità che caratterizza ogni singola variabile, attraverso l’analisi statistica di una base di dati raccolti nel passato, che rappresenta lo spazio probabilistico dei valori che la variabile casuale può assumere.

Una volta ricostruita la distribuzione di probabilità delle singole variabili casuali è possibile simulare, attraverso il modello stocastico, la variazione nel tempo della distribuzione di probabilità delle variabili casuali, ottenendo come risultato un nuovo spazio probabilistico di valori per ogni variabile casuale.

MODELLO DI MALTHUS

Con il termine popolazione si indica un qualsiasi insieme di organismi distinti. I modelli matematici che spiegano e prevedono l’evoluzione nel tempo del numero di individui che compongono una popolazione sono detti modelli di dinamica delle popolazioni. Thomas Malthus nel 1798 studia con modelli matematici l’evoluzione di una popolazione. Il modello di Malthus si basa su tre presupposti:

1) l’ambiente fornisce costantemente tutte le risorse utili agli individui, le risorse sono illimitate;

2) la popolazione è isolata: si entra solo per nascita, si esce solo per morte;

3) ogni individuo ha la stessa capacità di riprodursi e la stessa possibilità di morire degli altri.

Naturalmente tale modello è molto distante dalla realtà e comunque con ipotesi molto restrittive, ciò nonostante permette di studiare l’evoluzione di alcune popolazioni che si sviluppano secondo questo modello, come ad esempio le popolazioni umane nelle prime fasi di colonizzazione di un nuovo ambiente. Grazie al fatto che la specie umana evidenzia la capacità di elaborare strategie sempre più sofisticate per procurarsi nuove risorse, essa rappresenta una popolazione che ancora mostra un andamento di tipo malthusiano. Dalle ipotesi fatte, nel modello malthusiano è ragionevole dedurre che una popolazione con un numero doppio di individui, si riproduca esattamente del doppio, pertanto il numero di nati per unità di tempo è direttamente proporzionale al numero di individui.

Analogamente il numero di morti per unità di tempo è direttamente proporzionale alla numerosità.

Data l’ipotesi 1(condizioni ambientali costanti e risorse illimitate)

Sia N0 la numerosità iniziale, ossia la popolazione al tempo t = 0.

Alla popolazione iniziale si sommano il numero di nati e si sottraggono il numero di morti.

N1 = N0 + nN0 − mN0

N1= N0 + nN0 – mN0 = (1 + n – m)N0 = RN0 con R= 1 + n – m  0

Allora

Þ

N2 = N1 + nN1 – mN1 = ( 1 + n – m )N1 = RN1 = N0

Valutiamo infatti il comportamento della funzione  N(t) = Nt =  N0 al tendere del tempo t all’infinito, sia con R > 1 sia con 0 < R < 1.

– n − m > 0 ⇒ R >1⇒ lim N0 = + ¥ il destino finale della popolazione è l’esplosione demografica

– n − m < 0 ⇒ 0 < R < 1 Þ lim N0 =0 il destino finale della popolazione è l’estinzione

-n – m = 0 Þ R= 1Þ N(t) = N0 la popolazione mantiene lo stesso valore iniziale, la popolazione è in equilibrio

MODELLO MATEMATICO PER LA DATAZIONE COL CARBONIO 14

Walter F.Libby (chimico p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40 uno dei metodi più famosi e semplici di datazione dei reperti.

– L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da raggi cosmici, dà luogo a C^14  , un isotopo radioattivo del C.

–  Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali è caratterizzato da un rapporto costante C^14/C^12 =10^-12

–  Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di C^14 diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere

N(t)= quantità di C^14 nell’oggetto da datare al tempo t

N(0)= quantità di C^14  contenuta al tempo t=0

K= costante di C^14 decadimento radioattivo del

N(t) è soluzione dell’equazione: dN/dt = -kN(t)  ovvero:

N(t)= N(0)

R(t) = velocità con cui avviene il decadimento radioattivo

R(t)= – dN(t)/dt =KN(t) =KN(0)e^-kt , da cui deriva

R(t):R(0) = e^-kt

 MODELLI MATEMATECI PER LA DIFFUSSIONE DELLE                                                   EPIDEMIE
Esiste un’intera branca della matematica che si occupa di definire modelli che
rappresentino nella maniera più fedele possibile l’evoluzione di una data malattia. il
modello più usato è il cosiddetto SIR :
-S(susceptible ,suscettibili ) indica tutti gli individui di una popolazione che non sono
immuni al virus
-I(infectious, infetti)indica il numero delle persone attualmente infette
-R(removed/recovered, rimossi/guariti)a seconda che la malattia sia mortale o no.
Nel caso del covid-19 ,virus che può portare alla morte , R indicherà il numero di
persone che guariscono (e che quindi non potranno più essere contagiate poiché
immuni ) e i morti.
L’evoluzione di queste tre variabili si determina tramite equazioni differenziali
ordinarie,ovvero si lega tramite una relazione matematica la variazione di S, I e R
alle variabili stesse. Per fare ciò , è necessario introdurre il tasso di contagio o
contagiosità , che in epidemiologia viene indicato con R0 ,e il tasso di rimozione (o
guarigione ) γ . Una volta ottenuti questi parametri il modello è:
Sk+1 = -R0SkIk
Ik+1 = R0SkIk – γIk
Rk+1 = γIk
Dove k indica il tempo(i giorni).Le tipiche evoluzioni sono riportate nel grafico qui
accanto:

HERMIONE 

(poesia ispirata alla saga cinematografica di Harry Potter

utilizzando il numero di Nepero)

La ragazza è Hermione

ad Hogwarts è favorita,

la migliore maga leale

mezzosangue