LA PROBABILITA’

Ogni fenomeno il cui risultato non può essere previsto in anticipo, viene chiamato esperimento aleatorio o casuale, come per esempio il lancio di un dado o di una moneta e l’insieme S di tutti i casi possibili, viene chiamato spazio campionario.

Ciascun sottoinsieme dello spazio campionario viene detto evento.

Esistono diverse definizioni di probabilità e quella che al momento tratteremo è quella denominata ”classica”.

Questa probabilità, è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero di casi possibili:(f/n).

La probabilità di un evento è impossibile quando il numero dei casi favorevoli è 0, invece, è certa quando il numero dei casi possibili è uguale a quello dei casi favorevoli e la sua probabilità è 1.

Possono esserci 3 tipi di eventi: unione, intersezione e contrario.

L’evento unione o somma logica, si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati e si indica con U, es. E1UE2.

L’evento intersezione si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati e si indica con ∩, es. E1∩E2   

L’evento contrario fa sì che il verificarsi di un evento, escluda il verificarsi dell’altro.

Gli eventi, inoltre, possono dirsi compatibili o incompatibili.

Sono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro ed il teorema della somma logica si calcola con la formula: p(E1UE2)=p(E1)+(E2).

Si dico incompatibili quando il verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro ed il loro teorema si calcola con la formula: p(E1UE2)=p(E1)+p(E2)-p(E1∩E2).

La somma della probabilità di un evento e quella del suo evento contrario è 1 e si calcola: p(E)+p(Ē)=1. La probabilità di E1 condizionata a E2 è la probabilità di E1 calcolata nell’ipotesi che E2 si sia verificato e si calcola: p(E1/E2).

Due eventi si dicono dipendenti se p(E1)≠p(E1/E2), invece, si dicono indipendenti se p(E1)=p(E1/E2).

Se due eventi sono indipendenti, la probabilità del loro prodotto logico è uguale al prodotto delle loro probabilità, es. p(E1∩E2)=p(E1)*p(E2).

Al contrario, due eventi si dicono dipendenti, la probabilità del loro prodotto logico è uguale al prodotto della probabilità di E1 per la probabilità di E2 condizionata a E1, es. p(E1∩E2)=p(E1)*p(E2/E1).

Come già detto precedentemente, esistono altre tipologie di probabilità, come la probabilità statistica, che viene utilizzata nel caso in cui non è possibile definire il numero dei casi favorevoli e possibili prima che avvenga un esperimento; proprio per questo motivo si parla anche di probabilità a posteriori, che prende in considerazione un numero elevato di prove o esperimenti svolti. La sua probabilità statistica è dovuta al rapporto fra il numero delle prove favorevoli e il numero delle prove effettuate. All’aumentare del numero di prove, la probabilità statistica si avvicina sempre di più al valore della sua probabilità classica.

 L’ultimo tipo di probabilità da noi studiata è quella soggettiva, che si basa sul grado di fiducia espresso da un numero compreso fra 0 e 1, che una persona da al verificarsi dell’evento e viene indicato con p(E)=P/V. Nell’immaginare la scommessa, la persona deve essere per prima cosa coerente, ovvero disposta a pagare in caso di perdita.

Abbiamo anche studiato il calcolo combinatorio, che studia i raggruppamenti che si possono ottenere con un dato numero (n) di oggetti a disposizione su un dato numero (k) di posti. I raggruppamenti possono essere con ripetizioni o senza ripetizioni degli n oggetti.

Sono presenti 3 raggruppamenti possibili ed hanno il nome di: permutazioni, disposizioni e combinazioni.

Le permutazioni sono gruppi realizzati quando il numero dei posti è uguale il numero di oggetti e ovviamente conta l’ordine con il quale si dispongono.

Le disposizioni sono gruppi realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e anche in questo caso, come nelle permutazioni, conta l’ordine della disposizione.

Le combinazioni sono gruppi realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero dei posti e in questo caso, l’ordine non conta.

Ps. Bisogna stare molto attenti a non far confusione quando si individuano gli oggetti e i posti, perché ci si può confondere facilmente.

REALIZZATO DA ALESSIA MARINO.