Правильні багатогранники

Правильний багатогранник, або так само відомий як «Платонове тіло» – це вид багатогранника, гранями якого є правильніше багатокутники (трикутник, квадрат, п’ятикутник, шестикутник і т д) Залежно від конкретного виду багатокутника, який є межею багатогранника, багатогранники носять свої назви.

Платонові тіла відомі ще з античності. Існує припущення, що певні різьблені кам’яні кулі, які були створені людьми пізнього неоліту Шотландії, представляють ці форми; однак ці кулі радше мають округлені півсфери, а не багатогранні; кількість таких півсфер часто відрізняється від числа вершин тіл Платона, немає кулі, чиї півсфери відповідали б 20 вершинам додекаедра, а розташування сфер не завжди було симетричний.^[2]

Стародавні греки широко вивчали Платонові тіла. Деякі джерела (наприклад, Прокл Діадох) приписують їхнє відкриття Піфагору. Інші дані свідчать про те, що він, можливо, був лише знайомий з тетраедром, кубом та додекаедром, і що відкриття октаедра та ікосаедра належать Театету, сучаснику Платона. У будь-якому випадку, Театет дав математичну характеристику всіх п’яти і, можливо, саме він відповідальний за перший відомий доказ того, що немає інших опуклих правильних багатогранників.

Платонові тіла є визначними у філософії Платона. Платон писав про них у діалозі «Тімей» близько 360 до н. е. в якому він пов’язував кожну із чотирьох стихій (земля, повітря, вода та вогонь) із правильними багатогранниками. Земля була пов’язана з кубом, повітря з октаедром, вода з ікосаедром, а вогонь з тетраедром. Ці асоціації були інтуїтивно виправдані: жар вогню відчувається різким і колючим (як маленькі тетраедри). Повітря зроблене з октаедра; її мізерні компоненти настільки гладкі, що їх ледве можна відчути. Вода, ікосаедр, витікає з руки, коли її збирають, наче вона зроблена з крихітних кульок. І навпаки, несферичне тверде тіло, шестигранник (куб) являє собою «землю». Більше того, куб був єдиним тілом Платона, яке «теселював» Евклідів простір, що, як вважалося, і спричиняє твердість Землі.

Про п’яте Платонівське тіло, додекаедр, Платон незрозуміло зауважує, «… бог використовував [це] для розташування сузір’їв на всьому небі». Арістотель додав п’ятий елемент, aithēr (aether по-латині, «ether» англійською) і постулював, що небеса були зроблені з цього елемента, однак він не мав зацікавленості в тому, щоб поєднати його з п’ятим тілом Платона.

Евклід чисто математично описав Платонові тіла в своїх Началах, остання книга яких (Книга XIII) присвячена їхнім властивостям. Положення 13–17 у книзі XIII описують побудову тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра та додекаедра в такому порядку. Для кожного твердого тіла Евклід знаходить відношення діаметра описаної сфери до довжини ребра. У положенні 18 він стверджує, що більше немає опуклих правильних багатогранників. Андреас Шпейзер^[en] висловив думку про те, що побудова 5 правильних твердих тіл є головною метою дедуктивної системи, канонізованої в Началах.^[4] Значна частина відомостей у книзі XIII, ймовірно, походить із твору «Теетет».

Многогранник називається правильним, якщо:

• він опуклий;
• всі його грані є рівними правильними многокутниками;
• в кожній його вершині сходиться однакове число граней;
• всі його двогранні кути рівні.

• Л. Ейлером була виведена формула, що зв’язує число вершин (В), граней (Г) і ребер (Р) будь-якого опуклого многогранника простим співвідношенням: В + Г = Р + 2.

• Відношення кількості вершин правильного многогранника до кількості ребер однієї його грані дорівнює відношенню кількості граней цього ж многогранника до кількості ребер, що виходять з однієї його вершини. У тетраедра це відношення дорівнює 4: 3, у гексаедр і октаедра — 2: 1, а у додекаедра і ікосаедра — 4: 1.

• Правильний многогранник може бути комбінаторно описаний символом Шлефлі {p, q}, де: p — число ребер в кожній грані;

q — число ребер, що сходяться в кожній вершині.