АРИТМЕТИЧНИ ОСНОВИ НА КОМПЮТЪРНИТЕ СИСТЕМИ

АРИТМЕТИЧНИ ОСНОВИ НА КОМПЮТЪРНИТЕ С-МИ:
 Бройни системи (БС);
 Видове БС (позиционни и непозиционни);
 Представяне на числата в двоична,
осмична и шестнадесетична БС;
 Аритметични операции над числа в
двоична и шестнадесетична БС;
 Представяне на числова и символна
информация в компютърните системи:
– на цели числа със и без знак
– на дробни числа
– на символи / букви.

Бройната система e начин за представяне на числата с помощта на набор от символи, имащи определени количествени значения. Тези символи се наричат цифри. За
представяне на числата различните бройни системи използват различен набор от цифри.
Освен цифрите, бройните системи включват и правила за представяне на числата с цифри.

Видове бройни системи:
– позиционни;
– непозиционни.
• В позиционните БС всяка цифра има определено тегло, зависещо от позицията на цифрата в числото.
• Броят на цифрите, които съдържа БС, се нарича основа на бройната система.
• В непозиционните БС броят и позициите на цифрите в числото не определят неговата големина.

Примери за позиционни БС
Десетична (арабска) БС
Цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основа: 10
Пример 1: 5187 = 5.103 + 1.102 + 8.101 + 7.100
Пример 2: 3,46 = 3.100 + 4.10-1 + 6.10-2

Примери за непозиционни БС
Римска БС
Цифри: I, V, X, L, C, D, M,
1 5 10 50 100 500 1000
Вместо цифри се използват латински
букви.
Пример 1: VІII = 5 + 1 + 1 + 1 = 8
Пример 2: IX = 10 – 1 = 9

Двоична БС
Цифри: 0,1
Основа: 2
Пример 1: 1011012 = 1.2^5+0.2^4+1.2^3+1.2^2 +

+ 0.2^1+1.2^0 = 32 +0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45
Пример 2: 1,0112 = 1.2^0 + 0.2^(-1) + 1.2^(-2) + 1.2^(-3)
= 1 + 0 + 1/4 +1/8 = 1,625.

Преобразуване на двоично число в десетично:
Ако събираемите в горните представяния се изчислят и се
сумират, ще се получи десетичният еквивалент на двоичното число.
Забележка: Цифрите 0 и 1 се използват и в десетичната бройна система. За да е ясно в каква бройна система се записва числото, обикновено основата се записва като индекс към числото: например 1101001(2) е двоично число. Само в десетичната БС този индекс се изпуска, т.е. 101001 е десетично число.

Преобразуване на цяло десетично число в двоично. Общо правило:
Десетичното число се дели на основата на новата БС (2), като се записват целочислените остатъци (0 или 1) от деленето, по-малки от основата на новата БС. Деленето продължава, докато се достигне до частно, по-малко от основата на новата БС, което се записва като последен остатък. Остатъците от деленето, записани в обратен ред, дават записа на числото в новата БС.

Пример: Преобразуване на числото 79 от десетична в двоична БС.

Преобразуване на дробната част на десетично число в двоично. Общо правило:
Умножаваме дробната част на десетичното с основата на новата БС (2) и получаваме нова дробна част и цяла част.
Продължаваме да умножаваме получената дробна част по основата на новата БС, докато се получи нова дробна част, равна на 0. Получените цели части при умножението представляват дробната част на преобразуваното число. Записват се в реда, в който са получени.

Преобразуване на дробната част на десетично число в двоично
Пример: Преобразуване на 0,625 от десетична в двоична БС.
Забележка: При преобразуване на дробни числа се задава точност на пресмятането, тъй като рядко се получава дробна част равна на 0.

Представяне на числова информацията в КС

В компютърните системи се използват основно два вида числа: цели (натурални) числа и реални (веществени) числа.
А. Цели числа без знак – целите неотрицателни числа,
които се се представят в двоична форма чрез преобразуване по начина, показан по-горе в раздела БС.
В зависимост от големината на числото за представянето му са необходими различен брой цифри (битове). В компютърните системи числата се представят с фиксиран брой битове. Т.е. числата се представят с определена точност.

Броят на целите числа, които могат да се съставят с
помощта на n двоични цифри, е 2 n. Тогава целите
неотрицателни числа, описани с n бита, са в интервала 0÷2^n–1. Числото ‘0’ е една от възможните
комбинации. Съответно максималната стойност е с 1
по-малка от 2n.
При целите неотрицателни числа всички битове съдържат цифри, описващи числото. В такъв случай в един байт (8 бита) може да се представи цяло неотрицателно число в интервала 0÷2^8–1 или 0÷255.

Б. Цели числа със знак:
Представянето на тези числа изисква въвеждане на специален бит за знака на числото. Приема се, че ако в бита за знак има стойност 0, числото е положително, а ако
стойността е 1, то е отрицателно. Така например ако за цяло число се отделя 1 байт, стойността на числото се записва в
последните 7 бита, а първият бит се използва за знак.

Тогава максималното цяло число със знак, което може да се запише в 1 байт, е 2^7= 128.
Диапазонът на възможните числа е от -127 до +128, тъй като се включва и нулата.

Пример за положително число 37: 00100101(2)
Пример за отрицателно число -37: 10100101(2)