Алгебра

УРОК №14.  « Р озв ‘ язування тригонометрич них р івн ян ь »

Дані рівняння можуть бути присутніми в зав даний І, ІІ та ІІІ рівнів на ЗНО . У завидания завязки пропонуються найпростіші рівняння чи завдания, в яких, застосовых основні способи розв’язування. В І районе необхо- димо исследовать методы розыгрыша рівнянь. В завданнях ІІІ рівня розв’язання тригонометричного рівняння являє собою один за етапів розв’язання 

1. Актуал ізац ия знан ь, вм ін ь та нав ичок уч нів.

До найпростіших тригонометричних рівнянь відносяться рівняння:

sin x = a , cos x = a , tg x = a , ctg x = a

Повторение материала проводиться за таблицей показательного, логарифмического анализа и исследования функції.

Арксинус число числа а називається b , b [-; ], sin b = a

Арккосинусом числа а називаеться число b , b [0; π], cos b = a

arcsin (- a ) = – arcsin а ; arccos (- a ) = π – arccos a ;

arctg (- a ) = – arctg a ; arcctg (- a ) = π – arcctg a .

Тригонометрич ний круг : (интерактивна дошка)

Усно. Розв’язати рівняння: 1) грех х = 1; 

2) cos x =; 3) cos x = -; 4) грех х =; 5) тг х = 1; 6) сtg х =; 7) сtg х = – 3;

Письмово:

За вдан ня 1. Размещение :  8) грех х = 

Розв’язання:   х = (- 1) ^k arcsin + π k , k  Z;   х = (- 1) ^к  + л к к  Z .

Відповідь: х = (- 1) ^к  + л к ,  к Z .

Р обота в парах: (через проектор) Учиться в парах обмінюються зошитами и проводить взамоперевірку.

Відповіді: 9) х =; 10) х = k , k Z; 11) х = k , k Z;

12) х =; 13) х =; 14) х =; 15) х =; 16) х =; 17) х =.

Іноді в тестах ЗНО до завдань додаються додаткові питання. Розглянемо деякі з них на прикладные завдання №1 (рівняння 8). При відповідях по додатки питання приручно представленные розыгрыши в виді об’єднання двох сімейств розв’язків

х = + 2π k, k Z (1)       х = + 2π n, n Z (2).

Додаткові питання (проектор)

А) Знайти на йменший додатній кор інь.

Вибираємо найменший додатній розв’язок из кожоого сімейства. Із (1) маємо х = , із (2)  х =. Найменшим з них буде. Відповідь: или 60 °.

Б) Знайти на йб ільший  від ‘ ємний кор інь.

При k = – 1 з (1) маємо х =  – 2π k = -.

При n = – 1 з (2) маємо х = – 2π = -.

Найбільший з них буде -. Відповідь: – либо – 240 °.

В)  знайти т і кор ен і р івн ян ня, для яких соз х> 0

Відмітимо усі розв’язки рівняння (1) на тригонометричному колі. Із этих розв’язків необхідно вибрати ті, для яких cosx> 0. Відомо, що cos х> 0, якщо х лежить у I чверті или у IV чверті. Отримуємо, що

х = + 2π к , к  Z                        Відповідь: + 2 π к , к  Z .

Г)  Вказати т і кор ен і, які  належать пром іж ку

[–3π; – π]

Розв’яжемо системи (1) и (2).

Маємо (1)   k = – 1 і х = -.

(2) n = – 1 і х = -. Відповідь: -; -. 

Д) Ск ільк и корен ів м аё р івн ян ня на пром іжк у [-3π; ]?

Розв’яжемо системи (1) и (2).

Розв’язком (1) системи буде k = – 1 и k = 0. Р Розв’язком (2) системи буде n = – 1.

Таким чином, отримуємо 2 + 1 = 3 кореня. Відповідь: 3 кореня

Е) Знайтинайбли жчий до π кор інь р івн яння .

Відмітимо всі корені рівняння (I) на тригонометричному колі

Шуканим коренем є.

Відповідь :.

Є) М іж  якими кор енями знаходиться число – π?

Відмітимо корені рівняння (1) на координній прямій.

Відповідь: – <- π <.

Ж) Знайте на йб ільшу д овжину відр ізка, у якому не  знаходиться жодного кореня р івн яння .

Відмітимо корені рівняння (1) на координній прямій.

Середина відрізків АВ чи ВС необхідно вибрати найбільший. Довжина АВ дорівнює – =. Довжина ВС дорівнює – =. Найбільша довжина дорівнює. Відповідь :.

З) Знайте на йменшу д овжину відрізка, на  яком знаход яться два кор еня р івн яння.

Відмітимо корени рівняння (1) по координатній прямій.

Середина відрізків АВ чи ВС необхідно вибрати найменший.

Довжина АВ дорівнює – =. Довжина ВС дорівнює – =. Найменша довжина дорівнює.

Відповідь :.

ЗАВДАННЯ :

Розв’язати рівняння: 

1) грех х = 1;

2) cos x =;

3) cos x = -;

4) грех х =;

5) тг х = 1;

6) сtg х =;

7) сtg х = – 3;