Functions and graphs

Якщо кожному значенню змінної x з деякої множини (множина – set) D відповідає єдине значення змінної y, то таку відповідність називають функцією (функція – function). При цьому x називають незалежною змінною (незалежна змінна – independent variable) або аргументом (аргумент – argument), y – залежною змінною (залежна змінна – dependent variable), а множину D – областю визначення даної функції.

Задають функції найчастіше формулами (формула – formula), таблично (таблиця – table) або графічно. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції.

Наприклад, формула y=x² задає функцію, яка виражає відповідність між числами і їх квадратами. Якщо область визначення цієї функції – множина цілих чисел з проміжку [-3;3], то її можна задати таблицею:

Елементарні функції
y=kx – пряма пропорційність (direct proportionality). Її графік – пряма, що проходить через початок координат (рис. 2).
Область визначення цієї функції – множина R, область значень, якщо k≠0 – теж множина R.
Лінійною (лінійна функція – linear function) називають функцію, яку можна задати формулою виду y=kx+b. Її графік – пряма, не паралельна (non-parallel) осі y (рис. 3). Область визначення R, область значень – множина R, якщо k≠0 . Для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок. Якщо k = 0, область значень – одне число b (рис. 4).

y=k/x – обернена пропорційність (inverse proportionality). Її графік – гіпербола (hyperbola). Коли k>0, вітки цієї гіперболи розміщені в І і ІІІ чвертях координатної площини (рис. 5), коли k<0 – в II и IV чвертях (рис. 6). Область визначення функції y=k/x множина R без числа 0, область значень – ця сама множина.

Графік функції y=x³ зображено на рис. 7. Її область визначення і множина значень – множина R.

Графік функції– одна вітка параболи (рис. 8). Її область визначення [0;+∞) і область значень [0;+∞).

Якщо змінна y залежить від x, то записують y=f(x). Символом f(a) позначають значення функції y=f(x) коли x=a. Нехай, наприклад, функцію задано формулою y=3x²-5. Можна записати і так: f(x)=3x²-5. У цьому випадку f(0)=3·0²-5=-5; f(1)=3·1²-5=-2; f(-2)=3·(-2)²-5=7 .
Зауваження. Якщо y=f(x), то часто кажуть, що y – функція від x, тобто функцією називають змінну y. Однак здебільшого під функцією розуміють не одну залежну змінну, а відповідність між значеннями двох змінних. До того ж – не будь-яку відповідність, а однозначну, при якій кожному значенню змінної х відповідає єдине значення змінної y.

Перетворення графіків елементарних функцій

Графіки функцій y=f(x) і y=f(-x) симетричні відносно осі x (рис. 9).

Щоб побудувати графік функції y=kf(x), треба графік функції y=f(x) розтягнути від осі x в k разів, якщо k>1, або стиснути його в k разів до осі x, якщо 0<k<1.

Щоб отримати графік функції y=f(x)+n, треба графік функції y=f(x) перенести на n одиниць в напрямі осі y, якщо n>0 або в протилежному напрямі, якщо n<0.</k<1.>

Щоб отримати графік функції y=f(x-m), досить графік функції y=f(x) перенести на m одиниць в напрямі осі x, якщо m>0 або на -m одиниць в протилежному напрямі, якщо m<0 (рис. 10).
Функція, яка задається формулою y=ax²+bx+c, де a,b,c – довільні числа, а x – аргумент, називається квадратичною функцією.

Графік функції y=ax²+bx+c – парабола, координати вершин якої .

Якщо a>0, то вітки параболи направлені вверх, якщо a<0, то вітки параболи направлені вниз.
Щоб побудувати графік функції y=ax²+bx+c, можна знайти координати вершини параболи і ще кількох її точок, позначити їх на координатній площині і провести через них плавну лінію. Можна дотримуватись іншого способу: спочатку побудувати графік функції y=ax²+bx, а потім підняти або опустити його на |с| одиниць. Графік функції y=ax²+bx будувати неважко, оскільки він перетинає вісь абсцис у точках x=0 і x=-b/a, а її вершина знаходиться у

точці

.

Описуючи властивості функції, звичайно починають з її області визначення. Область визначення функції (definitional domain) – проекція (projection) її графіка на вісь x; область значень функції (codomain) – проекція її графіка на вісь у (рис. 11).

Якщо для будь-яких двох значень аргумента більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції, то таку функцію називають зростаючою (зростаюча функція – increasing function). Якщо для будь-яких двох значень аргумента більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції, то таку функцію називають спадною (спадна функція – drop-down function). Наприклад, функції y=2x, y=x³ – зростаючі,

а функції y=-2x,

– спадні.

Графік зростаючої функції «іде вгору», а спадної – «опускається вниз».

Можна також говорити про зростання чи спадання функції не на всій області визначення, а тільки на окремих проміжках.

Якщо графік функції симетричний (symmetric) відносно осі y, її називають парною (парна функція – even function). Якщо графік функції симетричний відносно початку координат, її називають непарною (непарна функція – odd function).
Функція y=f(x) парна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення x з області визначення f(-x)=f(x). Функція y=f(x) непарна, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення x з області визначення -f(-x)=f(x).

Функція, задана формулою y=xⁿ, де x – аргумент, а n – довільне натуральне число, називається степеневою функцією (степенева функція – power function) з натуральним показником. Конкретні приклади таких функцій: y=x, y=x², y=x³, …
Степенева функція з натуральним показником n парна, якщо число n парне (рис. 12) або непарна, якщо число n непарне (рис. 13).