Моделиране с линейни уравнения

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗА ЛИНЕЙНО УРАВНЕНИЕ

Линейните уравнения са алгебрични уравнения от вида:

ax + b = 0, a ≠ 0. а и b са коефициенти, а x е променлива.

Да решим уравнението, означава да намерим стойността на x:    x= – (b/a); при а≠ 0.или да установим, че уравнението няма решение/корен/.

Равенство от вида ax+b=0 или ax=b наричаме уравнение и при a=0.

Уравнението 0.x=b при b≠0  – няма корени.
Уравнението 0.x=b при b=0 – има за корен всяко число.

Разнообразни задачи от живота и науката водят до решаване на уравнения. Съставянето на уравнение означава, че задачата се превежда от говорим език и от езика на съответната практическа област, за която се отнася текстовата задача, на езика на математиката.

Процесът на съставяне на уравнение за текстова задача наричаме моделиране, в резултат на което се получава математически модел на задачата.

Съществуват различни видове текстови задачи, които решаваме с математически модел: задачи от движение, от работа, от капитал, от смеси и сплави, от числа. Отделните видове също имат свои подвидове, които имат характерни особености. Но при всички тях се спазва определен алгопитъм – поредица от стъпки, които ще разгледаме по-долу.

1. СТЪПКИ ПРИ СЪЗДАВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ

ПЪРВА СТЪПКА: Избиране на неизвестна величина

Означаваме тази величина с X. Обикновено с X означаваме търсената величина, но в някои задачи е допустимо за неизвестна да изберем величина, която е пряко свързана с търсената.

ПРИМЕРИ:

За илюстрация ще разгледаме решението на три задачи от различни видове – задача с числа, задача от движение по вода и най-прост пример на задача от капитал.

Задача1: Цифрата на десетиците на едно двуцифрено число е с две по-голяма от цифрата на единиците му. Намерете числото, ако сборът на цифрите му е една седма част от самото число.

В задачата търсим двуцифреното число, но с X означаваме цифрата на единиците. Друг вариант е с X да означим цифрата на десетиците. Търсеното число ще намерим, като получим тези две цифри.

Задача2: Моторна лодка изминава разстоянието от Русе до Силистра и обратно за 8 часа. Да се намери колко км е пътувала лодката по реката, ако скоростта на течението е 3 км/ч, а скоростта на лодката по течението е 21 км/ч.

В задачата търсим цялото разстояние на отиване и връщане, но с X означаваме само половината от него, като съобразяваме, че на отиване и връщане разстоянието е еднакво

Задача3: Семейство влага спестяванията си в едногодишен срочен влог в банка при годишна лихва 20 %. След една година закриват сметката, в която има 14400 лв. Колко са били първоначалните им спестявания?

В тази задача търсеното oзначаваме  с X.

Допустимите стойности на променливата се съобразяват в хода на решаването на задачата.

ВТОРА СТЪПКА: Описание на връзките между известните и неизвестни величини в задачата

Изразяване и опростяване на връзките между тях;

Въвеждане на подходящи математически означения и графично представяне;

Привеждане на величините в съответните мерни единици;

Чрез разсъждения привеждане текста на задачите в математически запис;

Допустимо е използване на чертежи, таблици и други начини за онагледяване на условието на задачата.

Примери:

по задача 1: Цифрата на единиците означихме с X, тогава според условието на задачата цифрата на десетиците ще бъде 2+X. Определяме Д.С. за X. В случая може да е число от 0 до 7. Сборът от цифрите ще бъде X+2+X=2X+2.

За да изразим търсеното число използваме, че щом 2+X е цифрата на десетиците, това  число ще го представим с израза така:  10. (2+X). /Защо става така?/

За да си припомниш защо става така, виж следната информация;

Цифрата на единиците е X, цифрата на десетиците 2+X, тогава двуцифреното число ще запишем така: 10. (2+X)+X  /сбор от десетици + единици/.

по задача 2:

Когато решаваме задачи от движение използваме величините път, скорост и време и връзките между тях, изразени със следните формули:

Когато движението е по въздух или вода важат и следните формули:

При решаване на задачата можем да направим чертеж, на който отбелязваме даденото.

В стъпка 1  означихме с X разстоянието между двете пристанища. Определяме Д.С. X>0, тъй като разстоянието не може да бъде отрицателно число или нула. Скоростта по течението е 21 км /ч. Времето, за което се изминава разстоянието X e X:21. Скоростта на течението е 3 км/ч. Тогава скоростта на лодката в спокойни води е 21 – 3 =18 км/ч. Използвайки формулите по-горе намираме, че скоростта на лодката срещу течението е разлика от скоростта в спокойна вода и скоростта на течението. Тогава срещу течението лодката се движи със скорост 18 – 3=15 км/ч. С тази скорост лодката изминава  X км. Времето, за което ще измине това разстояниеспоред формулите по-горе ще бъде X:15.

по задача 3:  Първоначалната сума, която семейството е поставило означените с X в стъпка 1. Определяме Д.С. X> 0. За да намерите лихвата за една година, умножавате 20% от първоначалната сума. Получаваме: 20% .X и към този израз добавяме X, за да получим сумата след 1 година. Получава се израза: X + 20% .X = X + 0,20X / Използваме, че1% = 0,01 /

ТРЕТА СТЪПКА: Съставяне на математически модел

Съставяне на линейно уравнение;

След тази стъпка изравнявайте големи, за да получите уравнение.

Примери:

В задача 1 съгласно условията за събиране на цифри т.е. 2X + 2 е една седма част от самото число, което низразихме с израза: 10. (2 + X) + X. Изравняваме две и получаваме уравнение на:

В задача 2 време след събираемост във времето срещу течението, за да получите цялото време, което в задачата е 8 часа. В резултата получаваме уравнението:

В задача 3 получихме израза X + 0,20X, което е сбора от първоначалната сума + лихвата за една година. При условие, че този сбор е 14400 лв., Като като ги приравним, получаваме уравнение:

X + 0,20X = 14400

Зад.4. Намислих число и го събрах със 17. Резултатът умножих с 4 и накрая го събрах с 29. Получих  сбора на най-малкото двуцифрено число, повдигнато на втора степен, и най-голямото едноцифрено число. Кое число съм намислила?

Решение:
Изразът “намислих число” не ви ли връща още в 1ви – 2ри клас? 🙂 И още от тогава знаем, че в такива случаи отбелязваме мистериозното число с х. После следваме последователността на действията в условието и уравнението ни ще е готово.

Зад.5. Мариела купила 10кг плодове – праскови и кайсии и платила общо 26 лв. Цената на прасковите е 2,00 лв за килограм, а на кайсиите 3,50 лв/кг. Колко кг праскови е купила Мариела?

Решение:
Означаваме с  х  килограмите праскови, а след това общата маса на плодовете е 10 кг, до касиите с  (10-х) . Цената само за прасковите е  2.х , а за касиите – съответно  3,5. (10-х) .
След тези разсъждения вечерта сме готови да пристъпим към създаването на уравнение, а именно след това:

2.x + 3,5. (10-x) = 26

кг праскови е купила Мариела

Домашна работа: от издателство “Веди” – тест 35 А и Б