Математическое моделирование

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1 ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ
МОДЕЛИ
1.1.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И КОНКРЕТИЗАЦИЯ ЦЕЛИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Первая проблема, касающаяся методов прикладной математики при разработке моделей, состоит в правильном осознании ставящих задач и целей проводимых исследований.
Сложность реального мира, который мы пытаемся понять, и элементы, которыми мы стремимся управлять, неизбежно приводит к узкой специализации исследователей. Внешне это проявляется в том, что заказчик – представитель специальных областей знаний, которые могут быть объяснены в форме, понятной математике. знаний партнера. Обсуждение в области физики – это математические модели, не встречающиеся в таких трудностях, а также “математик” (физик-теоретик), говорящие на близких языках.
Успешное математическое моделирование стимулировало процесс проникновения этих методов в другие области знаний (биологическая, экономическая, социологическая, военное дело и т. Д.), И здесь уже серьезно возникает очерченная выше  проблема. Принятие специальных решений в области прикладных математических и прикладных математических методов – это часто встречающиеся взгляды и проблемы сущности и, соответственно, возможные пути  ее решения.
Прикладная математика должна быть кратко, четко и однозначно зафиксирована, чтобы удовлетворить все требования заказчика, убедившись в их непротиворечивости, или за фиксированные противоречивые требования, очертить область возможного компромисса.
Решения корректности от Этого этапа в значительной мере и успех : зависит
все исследование. Математические задачи должны быть затрачены на решение этой проблемы.
Цель исследования – достаточно условно разделить  на два класса. Это исследование поведения системы и задачи исследования исследуемого объекта.
а) К первому классу задач относится т.н. прямые задачи. В основе лежат все основные законы, обеспечивающие функционирование системы, а также  прогнозирование поведения системы требует использования трудоемких математических методов и значительного численного счета.
б) Во второй класс относятся т.н. обратные задачи, связанные с
восстановлением отдельных свойств, исследуемые системы, ее параметры и т.д. по заданному (известному из эксперимента) поведению  системы. Примером здесь могут служить задачи по конструированию технических  систем с заданными свойствами или распознаванием объектов по результатам его
зондирования (например, постановка диагноза по результатам медицинского обследования). В этом случае должны решаться задачи обеспечения оптимального управления объектами (целевая функция), требующие экстремального значения, а также задачи, возникающей в результате выходного  и входного сигнала некоторой системы. определить эквивалентную систему, принадлежащую определенному классу.

1.1.2 АНАЛИЗ ИССЛЕДУЕМОЙ СИСТЕМЫ И ЕЕ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
Любая реальная система является сложной в том смысле, что она может
быть представлена в виде совокупности взаимосвязанных подсистем, которые в свою очередь также могут быть разделены на подсистемы и т.д. вплоть до самого низкого уровня, который мы назовем элементарным. Последнее определяется самим исследователем. Другими словами в каждом конкретном случае мы сами определяем “размер” элементарной подсистемы, рассматривая ее как бесструктурный элемент. В этом смысле выбор элементарного уровня произволен, и нижний уровень для одного исследования может оказаться достаточно высоким (многокомпонентным) для другого. Например, при моделировании боевых действий на море боевой корабль может рассматриваться как бесструктурная единица. С другой стороны, при исследовании живучести корабля этот уровень является исходным для начала анализа, т.е. самым верхним.
Анализируя исследуемую систему можно отметить, что ее отдельные эле-менты по-разному связаны друг с другом. Взаимосвязь между элементами, принадлежащими одной подсистеме сильнее, чем взаимосвязи между элементами разных подсистем. Это различие внутри компонентных и межкомпонентных связей и дает возможность реализовывать декомпозицию системы (представление ее в виде вложенной друг в друга совокупности подсистем) и относительно изолированно изучать и описывать ее составляющие.

При моделировании изучаемой системы мы уже на первом этапе исследования определяем (предполагаем) какие из связей системы следует считать существенными, а какие столь слабы, что ими можно пренебречь. Конечно, такая классификация связей является предварительной и ее можно рассматривать лишь как первое приближение. Дальнейшие исследования модели могут привести (и в серьезных задачах практически всегда приводят) к изменению точки зрения на значимость той или иной связи, поэтому всю полученную информацию о связях в исследуемой системе необходимо хранить до момента получения удовлетворительной математической модели – модели, которая в рамках поставленной задачи адекватна исследуемой системе. (Достаточно сложное понятие адекватности модели будет рассмотрено далее при изучении требований, предъявляемых к математическим моделям.)

1.2 ФОРМАЛИЗАЦИЯ СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ МОДЕЛИ.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В математической энциклопедии в краткой статье академика А.Н.Тихонова
термин математическая модель “определяется” как приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. В п. 1.1 мы попытались частично пояснить то, что скрывается за словами “приближенное описание”, как строится содержательная модель. Заметим, что дальнейшее раскрытие этого термина связано с процедурой исследования математической модели.
На основе содержательной модели выписываются соответствующие уравнения, реализуется ее перевод на формальный математический язык. Другими словами, на этом этапе ставится математическая задача, где на языке строго определенных математических понятий следует полное изложение исходных посылок и постановка вопроса, которые воспринимаются совершенно одинаково любым математиком, являющимся специалистом в соответствующей области.
Может показаться, что этот этап моделирования носит чисто формальный
характер. Однако это не так. Логика (в бытовом понятии), присущая математике, позволяет вскрыть те пробелы, которые неизбежно могут возникнуть при таком сложном процессе как построение содержательной модели. Здесь речь идет о полноте математической модели, завершенности постановки математической задачи. Выявленная незавершенность задачи требует привлечение дополнительной информации, формулировке дополнительных гипотез.
Осознать сказанное можно на простом, хорошо известном из курса средней
школы примере решения текстовых задач типа “два тракториста вспахали поле, причем первый …”. Основная сложность в решения таких задач заключалась в переводе постановки задачи с вербальной формы на язык математических формул. При этом одним из критериев правильности реализации такого перехода было условие равенства числа искомых переменных числу уравнений. Меньшее число уравнений свидетельствует о том, что не вся информация, заложенная в тексте задачи, переведена в символьный язык математики.
Завершает формулировку математической модели ее “оснащение”. Например, информация о начальном состоянии системы в случае решения задачи типа прогноза. Здесь для подчеркивания важности этого момента, как аналогию, полезно напомнить о различии в решениях дифференциального уравнения и соответствующей краевой задачи.
Более подробно математическую модель и вопросы с ней связанные мы об-
судим во второй главе. Отметим здесь только, что первоначально построенная математическая модель вряд ли будет представлять собой окончательный вариант – последующие этапы, связанные с решением математической задачи и анализом полученных результатов почти наверняка заставят вас пересмотреть те или иные позиции формирования содержательной модели, что неизбежно отразится на математической модели.
Таким образом, построенная первоначально математическая модель является лишь первым шагом итерационной процедуры, представляющей процесс математического моделирования.

1.3. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К КЛАССИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Существует множество различных способов классификации математических моделей, каждый из которых базируется на выделении своего доминантного
признака.

А. В качестве главного признака классификации можно рассматривать, например, предметную область построения модели. Так мы можем выделить математические модели в физике (математическая и теоретическая физика), в химии (теоретическая химия), в биологии (математическая биология), в медицине (математическая медицина), в психологии (математическая психология), в социологии (математическая социология), в экономике (математическая экономика) и т.д.
Более детальную классификацию можно провести, если выделять сходные математические модели в транспортных задачах, в городском и региональном планировании, защите окружающей среды, океанологии, лингвистике, политологии и т.д.
Поскольку математической модели, требующее львиную долю усилий от всех интеллектуальных затрат, связанных с математическим моделированием, предполагает хорошую ориентацию прикладного математика в предметной области исследования (физике, социологии, экономике, защите окружающей среды), то собственно, что большинство исследователей специализируются по одному из приведенных выше классов математических моделей. Однако при изложении методов математического моделирования для прикладных математиков широкого
профиля такую классификацию в методическом плане вряд ли можно признать удовлетворительной.
В. Другой подход к классификации математических моделей основан на выделении в качестве доминантного признака математического аппарата, используемого при построении и исследовании математических моделей. В таком случае говорят об алгебраических, топологических, дифференциальных, интегро-дифференциальных математических моделях. Например к обыкновенным дифференциальным моделям относят модели, содержащие обыкновенные дифференциальные уравнения.
При такой классификации основное внимание уделяется математическому аппарату и в меньшей степени  процедуре “приготовления” математической модели.
С. Математические модели можно классифицировать в соответствии с целями построения этих моделей. Так можно выделить класс моделей, разрабатываемых с целью прогноза поведения системы, с целью проверки гипотез относительно внутренней структуры объекта исследования, с целью оптимизации процессов управления, контроля и воздействия на систему. Список условных функций и соответствующих классов моделей можно продолжить.
Д. Наиболее часто математические модели классифицируются по их природе, особенностям описания.
Так математические модели могут быть:
– линейными и нелинейными, в зависимости от того, каковы базисные уравнения модели;
– статическими и динамическими, в зависимости от того, принимаются во внимание или нет временные зависимости в исследуемой системе;
– функциональными и структурными, в соответствии с глубиной декомпозиции системы, отображаемой в модели;
– дискретные и непрерывные, в соответствии с тем, являются ли переменные, описывающие состояние системы, дискретными или непрерывными величинами;
– детерминированными или стохастическими в зависимости от того, учитываются или нет случайные факторы в системе.
Следует отметить, что приведенное деление на классы (отнюдь не исчерпывающее) представляет собой по сути основание своеобразного алгоритма “идентификации” модели.
Анализируя возможную модель исследуемой системы, мы приписываем ее либо к классу линейных, либо нелинейных моделей. Далее решаем вопрос о возможности использования статической или динамической модели и т.д..

В конце такого анализа приходим, например, к выводу о том, что разрабатываемая модель является структурной линейной динамической детерминированной моделью с
дискретным пространством состояний.