Alcune note sui Numeri Irrazionali

by Giovanni Casolari

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Joined Mar 2017
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Numero Irrazionale

Un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi e b diverso da 0.

I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ecc.) non termina mai e non forma una sequenza periodica.

L’introduzione di questi numeri nel panorama matematico è iniziata con la scoperta da parte dei greci delle grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune.

Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come ${sqrt {2}}$ (la radice quadrata di 2) e ${displaystyle {sqrt[{3}]{5}}}$ (la radice cubica di 5); altri sono numeri trascendenti come π ed e.

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Scoperta dei numeri Irrazionali

La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell’irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione. Tuttavia Pitagora credeva nell’assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l’esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l’esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

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La radice quadrata di due è irrazionale

Una dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di due (trasmessa da Archita) è la seguente, che procede per assurdo. La proposizione è provata assumendo l’opposto e mostrando che è falso, che implica che la proposizione iniziale debba essere vera. Supponiamo che ${sqrt {2}}$ sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi a e b privi di fattori comuni tali che ${displaystyle {frac {a}{b}}={sqrt {2}}}$ . Elevando al quadrato si ha ${displaystyle {frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ , cioè ${displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ .

Questo implica che a² è pari, e che quindi a è pari, ossia esiste k intero tale che a=2k. Sostituendo abbiamo ${displaystyle a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}=2b^{2}Longrightarrow b^{2}=2k^{2}}$ Poiché abbiamo ottenuto una contraddizione con l’assunzione che ${displaystyle {sqrt {2}}}$ sia un numero razionale, essa deve essere falsa. Dunque abbiamo dimostrato l’opposto, cioè che ${sqrt {2}}$ è irrazionale. Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque numero naturale è un numero naturale o è irrazionale.

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Una seconda dimostrazione dell’irrazionalita’ della ${displaystyle {sqrt {2}}}$

Un’altra dimostrazione per assurdo che dimostra l’irrazionalità di ${displaystyle {sqrt {2}}}$ è meno conosciuta ma interessante. Essa procede osservando che se ${displaystyle {sqrt {2}}={frac {m}{n}}}$ allora sfruttando il fatto che ${displaystyle 2={frac {m^{2}}{n^{2}}}}$ si ottiene ${displaystyle {sqrt {2}}={frac {2n-m}{m-n}}}$ , quindi una frazione ai minimi termini viene ridotta in termini ancora minori. Questa è una contraddizione se $n$ e $m$ sono interi positivi, dunque l’assuzione che ${displaystyle {sqrt {2}}}$ sia razionale deve essere falsa. Da un triangolo rettangolo isoscele di cui i cateti e l’ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze $n$ e $m$ , tramite una classica costruzione con riga e compasso, è possibile costruire un triangolo isoscele rettangolo più piccolo tale che i cateti e l’ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze ${displaystyle m-n}$ e ${displaystyle 2n-m}$ . Questa costruzione dimostra l’irrazionalità di ${displaystyle {sqrt {2}}}$ con lo stesso tipo di metodo che fu impiegato dagli antichi geometri greci.

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Gli irrazionali come decimali

I numeri irrazionali sono tutti i numeri decimali illimitati non periodici. Essi sono infiniti.

Esempi di numeri irrazionali:

tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti: √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, …;
tutte le radici cubiche di numeri naturali che non sono cubi perfetti;
tutte le radici quarte di numeri naturali che non sono quarte potenze esatte:
tutte le radici quinte di numeri . . .
. . .
π = 3,1415926535897932384 … (Pi greca)
e = 2,7 1828 1828 45904 52353 60287 47135 26624 77572 47093 699 …(numero di Nepero)
7,01001100011100001111 …
7,026002600026000026 …

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Gli Irrazionali come sottoinsieme dei Reali

I numeri Razionali uniti ai numeri Irrazionali costituiscono l’insieme dei numeri reali; entrambi sono insiemi infiniti.

Dato che i numeri reali hanno un grado di infinito (cardinalita’) maggiore di quella dei razionali, ne consegue che il grado di infinito degli irrazionali deve essere maggiore di quello dei razionali.

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Numeri di cui non si sa se sono irrazionali

Non si sa ancora se ${displaystyle pi +e}$ o ${displaystyle pi -e}$ siano irrazionali o no. Infatti, non c’è nessuna coppia di interi non nulli m ed n per cui si sappia se ${displaystyle mpi +ne}$ è irrazionale o no.
Non si sa neanche se $2^e$ , ${displaystyle pi ^{e}}$ , ${displaystyle pi ^{sqrt {2}}}$ siano irrazionali.