e הקבוע מתמטי

 e  הוא קבוע מתמטי חשוב שערכו בקירוב 2.71828 

הקבוע e מופיע בניתוחים ומשמש בחישובים של בעיות מתחומים שונים, בעיקר מתחום הניתוח ההסתברותי, הכלכלה ומדעי החיים והטבע, הקשורים בגידול המשכי…
ניתן לפגוש אותו בכלכלה, פיסיקה, גיאומטריה, תורת המספרים, תורת ההסתברות ועוד.

הקבוע e  מתאר את תוצאתו של גידול המשכי שהסתיים כאשר כל היחידה המקורית הוכפלה ובזמן זה כל חלקיה אף הם גדלו בקצב זהה.

זהו מספר טרנסצנדנטי – כלומר מספר אי-רציונלי, אשר אין אפשרות להגדיר אותו באמצעות פעולות האלגברה, הקירוב העשרוני ל-e  מתחיל כך :

…e = 2.71828182845904523536

האזכור הראשון לקבוע זה פורסם ב-1618בטבלה בסוף עבודה על לוגריתמים מאת ג’ון נפייר.  אולם, הטבלה לא כללה את המספר עצמו אלא רק רשימת לוגריתמים שחושבו על פי הקבוע.

ההנחה הרווחת היא שהטבלה נכתבה על ידי ויליאם אוטרד.

ההתייחסות הראשונה למספר e  בתור קבוע הייתה של יאקוב ברנולי, המתמטיקאי שווייצרי שתרומותיו בענפי המתמטיקה והפיזיקה רבות.

בין השאר בענפי החשבון אינפיניטסימלי, טורים אינסופיים, ותורת ההסתברות. ברנולי חקר גם עקומות חשובות בתחומי הפיזיקה והגאומטריה, שהבולטת בהן הייתה העקומה הלוגריתמית שאותה ציוה לחרות על מצבתו.

יאקוב ברנולי הגיע לערך הקבוע של המספר  e ,  כשניסה למצוא את הערך של הביטוי:

הקבוע e נקרא בשמו, לזכרו של המתמטיקאי הדגול אוילר  (Euler) מהמאה ה-188, שחקר רבות  מתכונותיו הנפלאות. לאונרד אוילר סימן לראשונה את הקבוע כ- e  ב-1727 והפרסום הראשון שעשה שימוש בסימון זה היה ספרו של אוילר “מכניקה” מ-1736.

באיור מוצגות שלוש פונקציות מעריכיות בבסיסים שונים. פונקציית האקספוננט, המסומנת בכחול, היא הפונקציה המעריכית היחידה ששיפוע הישר המשיקלה (המסומן באדום) בנקודה x=0 הוא 1.

 e  מוגדר כך שהשטח הצבוע שמתחת להיפרבולה  y=1/x מ-1 ועד e  בתכלת שווה ל-1.

אומרים על המספר e שהוא בן-דודו הצעיר של  π  אשר לראשונה הופיע במאה ה-17.
המתמטיקאי הצרפתי פורייה הראה בשנת 1815 כי המספר e, בדומה ל-π , הוא מספר אי רציונאלי (שלא ניתן להביעו כמנה של שני מספרים שלמים).
ולא רק זאת,  בשנת 1874 הצליח הצרפתי הרמיט  להוכיח כי e, כמו בן דודו הקשיש π, הוא מספר טרנסצנדנטי, מספר לא אלגברי, כלומר, שאינו שורש של אף משוואה אלגברית בעלת מקדמים רציונאליים.

מקורות נוספים להרחבה והעמקה:

סיפורו של המספר e -מאמר מאת אלי מאור בעל”ה 20

 e בראש הטור -עופר ליבה סוקר את ספרו של אלי מאור בעל”ה 17

 The Number e –  הצעה להכרות מקיפה עם המספר e בהופעותיו השונות.

Imagining a Hit Thriller With Number e   אם היו עושים סרט על המספר e…