Функції, їх властивості та графіки

Функція.
Функція – залежність між двома множинами при якій, кожному елементу
однієї множини відповідає єдиний елемент іншої множини.
y = f (x)
x – аргумент
y – функція
Способи задання функції
1) Аналітичний – за допомогою формул;
2) Графічний – за допомогою графіків;
3) Табличний – за допомогою таблиць.
Елементарні функції
Елементарні функції — клас функцій, що містить в собі степеневі
функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні
функції, тригонометричні функції, зворотні тригонометричні функції, а
також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох
арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення)
та композиції, застосованих скінченну кількість разів.
Наприклад, раціональні функції є відношеннями многочленів, тому вони
належать до елементарних функцій. Так само, неважко переконатися, що до
елементарних функцій належать гіперболічні та зворотні гіперболічні
функції.
Властивості
Будь-яка елементарна функція є неперервною і диференційовною у
своїй області визначення. Похідна елементарної функції також є
елементарною функцією. З іншого боку, зворотна функція та
первісна елементарної функції може не бути елементарною функцією.

Графічний спосіб задання функції. Приклад

Маючи графік функції, можна знаходити їх значення за відомим значенням
аргументу і навпаки: знаходити значення аргументу за відомим значенням
функції.
Розглянемо, наприклад, функцію.

Знайдемо за допомогою графіка значення функціях, якщо х=4. Для цього
через точку осі х з абсцисою 4 проведемо пряму, паралельну осі у. Точка її
перетину із графіком функції має координати (4;8). Отже, якщо х=4, то
значення функції дорівнює 8. Знайдемо за допомогою цього ж графіка
значення аргументу, для яких значення функції дорівнює 6. Для цього через
точку осі у з ординатою 6 проведемо пряму, паралельну осі х. Одержимо дві
точки її перетину із графіком функції: (2;6) і (8;6). Отже, функція набуває
значення 6, якщо х=2 або х=8.

Дивлячись на графік, можна відмітити деякі властивості функції, заданої
цим графіком.
1). Область визначення функції утворюють усі значення х, що задовольняють
нерівності -5<=x<=10.
2). найбільше значення функції дорівнює 9 (цього значення функція набуває,
якщо х=6).
3). Найменше значення функції дорівнює -2 (цього значення функція набуває,
якщо х=-5).
4). Область значень функції утворюють усі значення у, що задовольняють
нерівності -2<=y<=9.
5). Значення функції дорівнює нулю, якщо х=-3.Ті значення аргументу, для
яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції. Отже,
значення х=-3 є нулем даної функції.
6). Функція набуває додатних значень, якщо -3<x<=10; від’ємних значень –
якщо -5<=x<-3.