Зміст

1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 6

2. Приклади розв’язування рівнянь……………………7 – 14

3. Приклади розв’язування нерівностей…………….15 – 17

4. Тести………………………………………………………………….18

5. Підготовка до НМТ з математики…………………….19 – 20

6.Відео…………………………………………………………………..21 – 22

7. Завдання для самостійної роботи…………………..23 – 24

Теоретичні відомості

Означення: рівняння називається показниковим, якщо воно містить змінну лише в показниках степенів.

Методи розв’язування показникових рівнянь:

1. Зведення до однієї основи

2. Зведення до спільного показника

3. Винесення спільного множника за дужки

4. Ділення обох частин рівняння на степінь

5. Зведення до квадратного рівняння шляхом заміни

6. Розв’язування однорідних рівнянь

7. Графічним способом

Означення: показниковими нерівностями називають нерівності вигляду а^f(x)  > a^g(x), де a – додатне число, відмінне від1, і нерівності, що зводяться до цього вигляду.

Нерівності розв’язуються за допомогою властивості зростання або спадання показникової функції:

– для зростаючої функції більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції;

– для спадної функції більшому значенню аргументу  відповідає менше значення функції.

Приклади розв’язування рівнянь

Зведення до спільної основи

Завдання 1: Розв’яжіть рівняння 3^х = 27

Розв’язання:

3^х = 27

3^х = 3³

х = 3

Відповідь: 3

Завдання 2: Розв’яжіть рівняння 2^{2х + 4} = 64

Розв’язання:

2^{2х + 4} = 64

2^{2х + 4} = 2⁶

2х + 4 = 6

2х = 6 – 4

2х = 2

х = 2 : 2

х = 1

Відповідь: 1

Зведення до спільного показника

Завдання 3: Розв’яжіть рівняння 2^х · 5^х = 0,01

Розв’язання:

2^х · 5^х = 0,01

(2 · 5)^х = 10^-2

10^х = 10^-2

х = – 2

Відповідь: – 2

Завдання 4: Розв’яжіть рівняння 3^х · 4^х = 144

Розв’язання:

3^х · 4^х = 144

(3 · 4)^х = 12²

12^х = 12²

х = 2

Відповідь: 2

Винесення спільного множника за дужки

Завдання 5: Розв’яжіть рівняння 2^{х + 2}  – 2^х = 96

Розв’язання:

2^{х + 2}  – 2^х = 96

2^х  · 2²  – 2^х = 96

2^х  · (4 – 1) = 96

2^х  · 3 = 96

2^х  = 96 : 3

2^х  = 32

2^х  = 2⁵

х = 5

Відповідь: 5

Ділення обох частин рівняння на степінь

Завдання 6: Розв’яжіть рівняння 2^{х + 3} – 3^х = 3^{х + 1} – 2^х

Розв’язання:

2^{х + 3} – 3^х = 3^{х + 1} – 2^х

2^{х + 3} – 3^х – 3^{х + 1}  + 2^х  = 0

2^х  · 2 ³ – 3^х –  3^х  · 3¹ + 2^х  = 0

2^х  · 8  – 3^х –  3^х  · 3  + 2^х  = 0

9 · 2^х  – 4 · 3^х  = 0

Поділимо кожен доданок на 3^х

(9 · 2^х)  : 3^х  – (4 · 3^х) : 3^х  = 0

9 · (⅔ )^х – 4 = 0

(⅔ )^х = ⁴/₉

(⅔ )^х = (⅔ )²

х = 2

Відповідь: 2

Зведення до квадратного рівняння шляхом заміни

Завдання 7: Розв’яжіть рівняння 4^х  + 2^х = 72

Розв’язання:

 4^х  + 2^х = 72

(2 · 2)^х  + 2^х = 72

2^2х  + 2^х –  72 = 0

Виконуємо заміну: 2^х = у

у² + у – 72 = 0

D = 1² – 4 · 1 ·  (- 72) = 1 + 288 = 289

у₁ = – 9; у₂ = 8

Виконуємо обернену заміну:

2^х = – 9   або   2^х = 8

∅                     2^х = 2³

х = 3

Відповідь: 3

Розв’язування однорідних рівнянь

Завдання 8: Розв’яжіть рівняння

6 · 4^х – 13 · 6^х + 6 · 9^х = 0

Розв’язання:

6 · 4^х – 13 · 6^х + 6 · 9^х = 0

Поділимо кожен доданок на 9^х

6 · (⁴/₉)^х – 13 · (⁶/₉)^х + 6 = 0

6 · (⅔)^2х  – 13 · (⅔)^х  + 6 = 0

Виконуємо заміну: (⅔)^х  = у

6у² – 13у + 6 = 0

D = 13² – 4 · 6 · 6 = 169 – 144 = 25

у₁ = ⅔ ; у₂ = ᶾ/₂

Виконуємо обернену заміну:

(⅔)^х  = ⅔         або             (⅔)^х  = ᶾ/₂

х = 1                              х = – 1

Відповідь: -1; 1

Приклади розв’язування нерівностей

Завдання 10: Розв’яжіть нерівність  2^{2х – 1} > 64

Розв’язання:

2^{2х – 1} > 64

2^{2х – 1} > 2⁶

Знак нерівності не змінюємо (оскільки основа 2 > 1)

2х – 1 > 6

2х > 6 + 1

2х > 7

х > 7 : 2

х >  3,5

Відповідь: х є (3,5; + ∞)

Завдання 11: Розв’яжіть нерівність  0,2^{2х – 1}  > 125

Розв’язання:

0,2^{2х – 1}  > 125

(⅟₅)^{2х – 1} > (⅟₅) ^-3

Знак нерівності змінюємо на протилежний (оскільки основа ⅟₅ < 1)

2х – 1 < – 3

2х < – 3 + 1

2х < -2

х < -2 : 2

х <  – 1

Відповідь: х є (- ∞; – 1)

Завдання 12: Розв’яжіть нерівність  2^х + 2^{х + 3}  ≥  144

Розв’язання:

2^х + 2^{х + 3}  ≥  144

2^х + 2^х · 2 ³  ≥  144

Винесемо за дужки спільний множник 2^х

2^х · (1 + 2 ³)  ≥  144

2^х · (1 + 8)  ≥  144

2^х · 9  ≥  144

2^х  ≥ 144 : 9

2^х  ≥ 16

2^х  ≥  2⁴

Знак нерівності не змінюємо (оскільки основа 2  > 1)

х ≥ 4

Відповідь: х є [4; + ∞)

Тести

1. Виконай тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/tay888

2. Виконай інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконай завдання з теми за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pokaznykovi_logharyfmichni_rivnjannja_ta_systemy_rivnjan/

Відео

Перегляньте навчальне відео: