Зміст

1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 10

2. Приклади розв’язування типових завдань…….11 – 20

3. Тести………………………………………………………………….21

4. Підготовка до НМТ з математики…………………….22

5.Відео…………………………………………………………………..23 – 25

6. Завдання для самостійної роботи…………………..26 – 30

Теоретичні відомості

Циліндр

Прямокутник AOO₁A₁ обертається навколо сторони OO₁.
OO₁ — вісь  циліндра і висота циліндра.
AA₁ — твірна циліндра, довжина якої дорівнює довжині висоти циліндра.

Кола з центрами О та O₁ — основи циліндра.
AO — радіус циліндра.

Означення: твірні циліндра — відрізки, що сполучають відповідні точки кіл основ циліндра.

Означення: осьовий переріз циліндра — це перетин циліндра площиною, яка проходить через вісь циліндра. Цей переріз є прямокутником.

При перерізі циліндра площиною, паралельною осі циліндра (тобто перпендикулярною основі), також виходить прямокутник.

При перерізі циліндра площиною, паралельною основі, в перерізі отримуємо коло, що дорівнює основам циліндра.

Якщо уявити, що бічна поверхня циліндра розрізана по твірній і розгорнута, то отримаємо прямокутник.

Основи циліндра — два круги із загальною площею 2⋅πR²

Конус

Трикутник POA обертається навколо сторони PO.
PO — вісь конуса і висота конуса.
P — вершина конуса.
PA — твірна конуса.
Коло з центром O — основа конуса.
AO — радіус основи конуса.

Означення: відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою кола його основи називається твірною конуса.

Означення: осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь PO конуса.
Осьовий переріз конуса — це трикутник.

ASB — осьовий переріз конуса.

Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор. Довжина дуги сектора — це довжина кола основи конуса довжиною 2πR. Радіус сектора — це твірна конуса.

Площа бічної поверхні конуса визначається за формулою:

S_біч. = πRℓ, де ℓ – твірна

Площа повної поверхні конуса визначається за формулою:

S_п= πRℓ + πR²=πR(ℓ+R)

Об’єм конуса обчислюються за формулою:

V = ⅓πR² ⋅ H

Куля

Означення: куля — це тіло обертання, отримане при обертанні півкруга навколо осі, що містить його діаметр.

Точка О — центр кулі.

ОР — радіус кулі.

Усякий переріз кулі площиною є круг.

Означення: якщо переріз проходить через діаметр кулі, то її називають діаметральною площиною.

Означення: переріз кулі діаметральною площиною називають великим кругом.

Об’єм кулі обчислюється за формулою:

V = ⁴/₃πR³, де R — радіус кулі.

Сфера

Означення: поверхню кулі називають сферою.

Точка О — центр сфери.

ОС — радіус, АВ — діаметр  сфери.

Означення: переріз сфери діаметральною площиною називають великим колом.

Площа сфери обчислюється за формулою:

S = 4πR² , де R — радіус сфери.

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 1: Площа повної поверхні циліндра дорівнює 92π, а площа його бічної  поверхні — 56π. Визначте площу основи цього циліндра.

Розв’язання:

З формули S_п=S_б+2S_осн

2S_осн = S_п  –  S_б = 92π – 56π = 36π

Тоді S_осн = 36π:2 = 18π

Відповідь: S_осн = 18π

Задача 2: Циліндр, радіус основи якого дорівнює 4 см, висота — 12 см, перетнули площиною, паралельною до його основи. Утворилося два циліндри. Визначте суму площ повних поверхонь утворених циліндрів.

Розв’язання:

Площа бічної поверхні циліндра до розрізання дорівнює

S = 2πRH = 2π ⋅ 4 ⋅ 12 = 96π см².

Після розрізання маємо два циліндри, сума площ бічних поверхонь яких дорівнює площі бічної поверхні початкового циліндра. Дані циліндри мають однакові основи. Площа однієї з них S = πR² = 16π см².

Разом маємо чотири основи.

Тоді сума площ повних поверхонь буде дорівнювати

96π + 4⋅16π = 160π см²

Відповідь: 160π см²

Задача 3: Твірна конуса дорівнює 2 см і нахилена до площини основи під кутом α. Знайдіть: а) висоту конуса;

б) радіус основи; в) площу осьового перерізу.

Розв’язання:

SB = 2 см; ∠ ABO = α

а) SО = SB · cos α = 2cos α;

б) ОВ = SB · sin α = 2sin α;

в) S_о.п. = 2S_SOB = 2 · ⅟₂ · SB · cos α · SB · sin α =

= 4 · cos α · sin α = 2sin 2α

Відповідь: а) 2cos α; б) 2sin α; в) 2sin 2α

Задача 4: Прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 8 см, а один із кутів дорівнює 30°, обертається навколо більшого катета. Знайдіть площу бічної поверхні утвореного конуса.

Розв’язання:

ВС = 8 см; ∠ АВС = 30°; ∠ А = 90°

Більший катет АВ – висота конуса, менший катет АС – радіус конуса, гіпотенуза – твірна конуса.

Скористаємося властивістю про катет прямокутного трикутника, який лежить проти кута 30° і дорівнює половині гіпотенузи.

АС = ⅟₂ · BС = ⅟₂ · 8 = 4 см

S_біч. = πRℓ = π · 4 · 8 = 32π см²

Відповідь: 32π см²

Задача 5: Кулю, радіус якої 5см, перетнуто площиною, що розміщена на відстані 3 см від центра. Знайти площу перерізу.

Розв’язання:

ОО₁=3 см, ОА=5см.

О₁А² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16

О₁А = 4 см

S = πR² = 16π см²

Відповідь: 16π см²

Задача 6: М’яч, площа поверхні якого дорівнює

400π см² зробив один повний оберт по прямій. Знайти довжину шляху, яку він при цьому подолав.

Розв’язання:

Оскільки площа сфери S = 4πR²

Тоді 400π = 4πR²

R² = 100

R=10 см

Довжина шляху S = 2πR = 2π · 10 = 20π cм

Відповідь: 20π cм

Тести

1. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/zyj384

2. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/nvb754

3. Виконайте інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-tila_obertannja/

Відео

Перегляньте навчальне відео:

Завдання для самостійної роботи