Зміст

1. Теоретичні відомості……………………………………….3 – 12

2. Приклади розв’язування типових завдань…….13 – 20

3. Тести………………………………………………………………….21

4. Підготовка до НМТ з математики…………………….22

5.Відео…………………………………………………………………..23 – 26

6. Завдання для самостійної роботи…………………..27 – 28

Теоретичні відомості

Означення: Комбінаторика – розділ математики, у якому вивчають способи вибору та розташування елементів з деякої скінченої множини відповідно до заданих правил.

Багато комбінаторних задач можна розв′язати за допомогою двох важливих правил, які називаються правило суми і правило добутку.

Правило суми: якщо деякий об’єкт А можна вибрати m способами, а інший об’єкт В можна вибрати n способами, то вибір “Або А, або В” можна здійснити m+n способами.

Правило добутку: якщо деякий об’єкт А можна вибрати m способами і після кожного такого вибору інший об’єкт В можна вибрати n способами, то вибір пари (А; В) у вказаному порядку можна здійснити mn способами.

Важливим у комбінаториці є поняття факторіала.

Означення: добуток всіх натуральних чисел від 1 до n, де

n – ціле невід’ємне число, називається  факторіалом числа n і записується n! (читається, як “ен факторіал”).

n!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−2)⋅(n−1)⋅n

Означення: перестановкою з n елементів називається будь-яка впорядкована множина, що складається з усіх цих n елементів.

Перестановки відрізняються одна від одної лише порядком елементів.

P_n = n!

Означення: розміщенням з n елементів по m (де m ≤ n) називається будь – яка впорядкована підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів. Розміщення відрізняються один від одного або елементами, або їх порядком.

Означення: комбінацією з n елементів по m (де m ≤ n) називається будь – яка не впорядкована підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів.

Комбінації відрізняються лише складом елементів. Порядок елементів у множині неістотний.

Комбінація відрізняється від розміщення тим, що у цій підмножині неістотним є порядок елементів.

Вибір формули для обчислення кількості сполук

Означення: Теорія ймовірностей – математична наука, що вивчає закономірності випадкових явищ.

Якщо проводяться певні досліди, підсумок яких передбачити неможливо, то такі досліди в теорії ймовірностей називають випадковими.

Означення: випадковий дослід – це дослід, результат якого залежить від випадку і який можна повторювати багато разів за одних і тих самих умов.

Результатом випадкового досліду є випадкова подія.

Означення: випадкова подія – це подія, яка за одних і тих самих умов може відбутися, а може і не відбутися.

Означення: подія, яка за даних умов обов’язково відбудеться, називається вірогідною (або достовірною).

Означення: подія, яка за даних умов ніколи не відбудеться, називається неможливою.

Означення: дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу другої події в тому самому випробуванні.

Означення: дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої події в даному випробуванні.

Означення: рівноймовірними називаються події, ймовірності яких однакові в даному випробуванні.

Класичне означення ймовірності: ймовірність події А дорівнює відношенню кількості випадків m, що сприяють появі події А, до кількості всіх можливих випадків n.

Ймовірність вірогідної події дорівнює 1; ймовірність неможливої події дорівнює 0; ймовірність випадкової події може бути будь – яким числом від 0 до 1.

Означення: Математична статистика – розділ математики, у якому вивчають методи збирання, систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків.

Означення: генеральна сукупність – це сукупність усіх об’єктів, що підлягають дослідженню.

Означення: вибіркою називають сукупність об’єктів, вибраних випадковим чином з генеральної сукупності.

Означення: варіанта – одне із значень елементів вибірки.

Означення: операцію розташування випадкових величин вибірки за принципом неспадання називають ранжуванням вибірки.

Вибіркові характеристики:

Означення: розмах вибірки R – це різниця між найбільшим і найменшим значенням випадкової величини у вибірці.

Означення: мода вибірки Мо –  це значення випадкової величини, яке трапляється у вибірці найчастіше.

Означення: медіана вибірки Ме – це серединне значення ранжованої вибірки.

Означення: середнє значення вибірки Х – це середнє арифметичне всіх її значень.

Графічне подання інформації про вибірку

Результати статистичних досліджень після обробки можна подати у наочній і компактній формі.

Означення: полігоном частот називають ламану лінію, відрізки якої послідовно сполучають точки з координатами

(х₁;n₁); (х₂;n₂) ,…, (х_k;n_k), де х_j – значення випадкової величини,  n_j – відповідні їм частоти.

Приклади розв’язування типових завдань

Задача 1: У вазі лежать три яблука та чотири груші. Скількома способами можна обрати один фрукт?

Розв’язання:

Якщо у вазі лежать 3 яблука, то одне яблуко можна обрати трьома способами (можемо взяти одне із 3 яблук). Якщо у вазі лежать 4 груші, то одну грушу можна обрати чотирма способами (можемо взяти одну із чотирьох груш). А обрати один фрукт можна 3+4=7 способами.

Відповідь: 7 способів

Задача 2: Скількома способами можна вибрати голосну та приголосну літери зі слова “приклад”?

Розв’язання:

Голосну літеру можна вибрати 2 способами (можна взяти одну з літер “а” або “и”). Приголосну літеру можна вибрати 5 способами (можна взяти одну із літер “п”, “р”,”к”, “л”, “д”). Для кожного з 2 способів вибору голосної літери є 5 способів вибору приголосної літери. Тому пару із голосної та приголосної літер можна вибрати 2·5=10 способів.

Відповідь: 10 способів

Задача 3: Обчисліть   .

Розв’язання:

Спростимо обчислення. Факторіал числа 102 за означенням дорівнює 102! = 1 · 2 · …· 99 · 100 · 101 · 102.

За виглядом знаменника виділимо із записаного добутку 100! і отримаємо

102! = (1 · 2 · …· 99 · 100) · 101 · 102 = 100! · 101 · 102

За означенням факторіал будь – якого цілого невід’ємного числа є натуральним числом, тобто не дорівнює нулю.

Тоді 100! ≠ 0, а отже на нього можна скоротити чисельник і знаменник:

Відповідь: 10302

Задача 4: Скількома способами можна розсадити 8 студентів в ряд з 8 місць?

Розв’язання:

Маємо справу з перестановкою, а тому використовуємо формулу:

.

Відповідь: 40320 способів

Задача 5: В класі 10 навчальних предметів і 5 різних уроків в день. Скількома способами можна розподілити уроки на день.

Розв’язання:

Для нас важливий порядок предмету в розкладі.

Тому всі можливі розподіли уроків на день являють собою,  розміщення з 10 елементів по 5.

Отже, всіх способів розподілу повинно бути:

Відповідь: 30240 способів

Задача 6: Скількома способами можна вибрати двох чергових із групи 17 чоловік?
Розв’язання:

У задачі неважливий порядок розміщення здобувачів освіти у групі, а лише кількість різних груп.

Тому застосовуємо формулу комбінацій С з 17 по 2:
C₁₇²=17!/(17-2)!/2!=17 · 16/2=136.
Отже, можемо скласти 136 різних пар з двох чергових.

Відповідь: 136 способів

Задача 7: У ящику 16 синіх і 12 білих кульок. Яка ймовірність витягнути з ящика синю кульку?

Розв’язання:

Формула для знаходження ймовірності 

n = 18 + 12 = 30;  m = 18;

Р(А) = 18/30 = 0,6

Відповідь: Р(А) = 0,6

Задача 8: Відділ технічного контролю серед 100 виробів виявив 8 нестандартних. Знайдіть ймовірність появи нестандартних виробів.

Розв`язання: Позначимо через А таку подію, як поява нестандартного виробу. Тоді  одержимо:

Р (A) = = 0,08.

Відповідь: Р (A) = 0,08.

Задача 9: Знайдіть імовірність одночасного випадання герба на двох монетах при одному киданні двох монет.

Розв’язання:

Подія А – «випав герб на першій монеті», Р(А) = ⅟₂.

Подія В – «випав герб на другій монеті», Р(В) = ⅟₂.

Оскільки поді А і В незалежні, то

Р(А · В) = Р(А) · Р(В) = ⅟₂ · ⅟₂ = ⅟₄

Відповідь: ⅟₄

Задача 10: У шкільній олімпіаді з математики взяли участь 20 здобувачів освіти. Бали, набрані учасниками олімпіади подано у вигляді таблиці. Знайдіть розмах, моду, медіану, середнє значення вибірки.

Розв’язання:

R = 18 – 5 = 13

Мо = 12

Ме = (10 + 12) : 2 = 11

Х = ( 5·3 + 7·4 + 9·2 + 10 + 12·5 + 15·3 + 16 + 18) : 20 = 210 : 20 = 10,5

Відповідь: R = 13; Мо = 12; Ме = 11; Х = 10,5.

Тести

1. Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/xdy890

2. Пройдіть вебквест за посиланням:

https://vseosvita.ua/webquest/start/s/2852/319583-fac31642

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання за посиланням:

Перестановки, комбінації, розміщення. Комбінаторні правила суми та добутку:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-kombinatorni_pravila/

Ймовірність випадкової події. Вибіркові характеристики:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-jmovirnist_vypadkovoyi_podiyi/

Відео

Перегляньте навчальне відео:

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1:

Вкажіть, яка це подія:

1) вночі світить сонце

2) 1 січня – святковий день

3) опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце

4) при підкиданні грального кубика випало 7 очок

5) при підкиданні грального кубика випало число очок, менше 7

6) при телефонному дзвінку абонент виявився зайнятий

7) при підкиданні грального кубика випало 2 очки

8) навчальний рік коли-небудь закінчиться

9) бутерброд впаде маслом вниз

10) ви виграєте, беручи участь у лотереї

11) 30 лютого буде дощ

12) завтра сонце зійде на заході

13) влітку у школярів канікули будуть

14) при підкиданні  грального кубика випало парне число очок

15) 1 липня в Одесі буде сонячно

16) після четверга буде п’ятниця

17) день народження мого друга – число, менше ніж 32

Завдання 2:

Розв’яжіть задачу:

При підкиданні грального кубика обчисліть ймовірність таких подій:

А: випало парне число очок;

В: випало число очок кратне трьом.