Зміст

1.Теоретичні відомості…………………………………………3 – 10

1.1.Паралельність прямих у просторі………………….3 – 4

1.2.Паралельність прямої і площини у просторі…5 – 7

1.3.Паралельність площин у просторі………………….8 – 10

2.Приклади розв’язування завдань……………………..11 – 18

3.Тести……………………………………………………………………19 – 20

4.Підготовка до НМТ з математики………………………21

5.Відео……………………………………………………………………22 – 23

6.Завдання для самостійної роботи……………………..24

Паралельність прямих у просторі

Означення: Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

Паралельність прямих a і b позначається так: a∥b або b∥a.

Ознака паралельних прямих:

Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Теорема 1: Через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема 2: Через будь-яку точку простору поза даною прямою можна провести пряму, паралельну даній прямій, і до того ж тільки одну.

Теорема 3: Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає дану площину, то й інша пряма перетинає цю площину.

Пам’ятайте, що у просторі справджуються всі  властивості паралельних прямих, які ви вивчали у планіметрії.

Паралельність прямої і площини у просторі

Означення: Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Наслідок 1: Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині через задану точку можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

Наслідок 2: Через точку поза площиною можна провести безліч прямих, паралельних даній площині.

Наслідок 3: Якщо пряма належить одній площині і паралельна до лінії перетину її з другою площиною, то ця пряма паралельна другій площині.

Наслідок 4: Через точку поза площиною можна провести безліч прямих паралельних даній площині, але тільки одну пряму, паралельну заданій прямій з цієї площини.

Теорема: Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то і друга пряма також перетинає цю площину.

Паралельність площин у просторі

Означення: Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Паралельні площини α і β позначаються α∥β.

Ознака паралельності площин: Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини, то ці площини паралельні.

Властивості паралельних площин:

Теорема 1: Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Теорема 2: Відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні.

Приклади розв’язування завдань

Задача 1: Вкажіть на якому з малюнків зображено паралельні прямі.

Розв’язання:

а) Не паралельні.

б) Паралельні.

в) Паралельні.

г) Не паралельні.

Необхідно згадати властивості кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною.

Задача 2:

Дано:  SА₁: SА = SВ₁: SВ = SС₁: SС

Довести:  ( А₁В₁С₁ ) ∥ (АВС)

Доведення:

Розглянемо кут АSВ.

Оскільки SА₁: SА = SВ₁: SВ, то А₁В₁ ∥ АВ (за теоремою Фалеса).

Аналогічно доводимо, що В₁С₁  ∥ ВС. 

Тоді А₁В₁ ꓵ В₁С₁  і АВ ꓵ ВС відповідно паралельні.

Отже, ( А₁В₁С₁ ) ∥ (АВС) за ознакою паралельності площин.

Задача 3:

Дано: паралелограми АВЕD і АСFD лежать у різних площинах

Довести: ВСFЕ – паралелограм

Доведення:

АD ∥ ВЕ і АD = ВЕ, тому що АВЕD – паралелограм.

АD ∥ СF і АD = СF, тому що АСFD – паралелограм.

Тому ВЕ ∥ СF і ВЕ = СF.

Отже, ВСFЕ – паралелограм.

Задача 4:

У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.
ІІ. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.
ІІІ. Існує точка, що належить обом прямим m і n.

Розв’язання:

І. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то така площина існує. Є правильним.
ІІ. Так як прямі паралельні, то вони лежать в одній площині. А на площині завжди є пряма, що перетинає паралельні прямі. Є правильним.
ІІІ. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то вони не мають спільної точки. Не є правильним.

Задача 5:

На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих паралельна площині (AA₁B₁)?

Розв’язання:
А) пряма перетинає площину; Б) пряма перетинає площину; В) пряма паралельна площині (вона паралельна прямій B₁А, що лежить в цій площині); Г) пряма перетинає площину;

Д) пряма лежить в площині.

Відповідь: В.

Тести

1)Виконайте тести за посиланням:

https://vseosvita.ua/test/start/lhw201

2)Виконайте інтерактивну вправу:

Підготовка до НМТ з математики

Виконайте завдання за посиланням:

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pryami_ta_ploshini_u_prostori/

Відео

Перегляньте відео :

Завдання для самостійної роботи

1.Вкажіть на якому з малюнків зображено паралельні прямі.

2.Перегляньте відео за посиланням і виконайте завдання.

https://youtu.be/RcRNcLXRLsI