Функція, її властивості та графік
by Tetyana Masych
Artwork: Тетяна Масич
- Joined Jun 2023
- Published Books 20
Copyright © 2023
Зміст
1. Теоретичні відомості………………………………………..3 – 12
2. Приклади розв’язування типових завдань……..13 – 18
3. Тести, вебквест з теми………………………………………19
4. Підготовка до НМТ…………………………………………….20
5. Відео…………………………………………………………………..21 – 24
6. Завдання для самостійної роботи…………………….25 – 26
Теоретичні відомості
У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція.
Функція — це така залежність, при якій кожному значенню х з деякої множини відповідає єдине значення змінної у. Записують це: y=f(x).
Змінну х– називають незалежною змінною, або аргументом.
Змінну у– називають залежною змінною, або функцією.
Усі значення, яких набуває незалежна змінна х називають областю визначення функції. Позначають буквою D.
Усі значення, яких набуває залежна змінна у називають областю значення функції або множиною значень функції та позначають буквою Е.
Способи задання функції
1. Аналітичний спосіб
Функція задається за допомогою формули.
2. Табличний спосіб
Цей метод полягає у тому, що відповідність між множиною значень змінної x і функції y задається у вигляді таблиці.
3. Графічний спосіб
Функція задається за допомогою графіка функції.
4. Словесний (описовий) спосіб
Словесний спосіб задання функції полягає в тому, що закон, за яким залежно від х обчислюється значення у, виражається словами. Цей спосіб використовується під час розв‘язування задач, в яких розглядаються взаємопов‘язані величини.
Що називають графіком функції
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргумента, а ордината –значенню функції.
Види функцій, які ви вже знаєте
1. Лінійна функція
Задається формулою: у = kх + b
Графіком лінійної функції є пряма.
2. Пряма пропорційність
Задається формулою: у = kх
Графіком такої функції є пряма, яка проходить через
початок координат.
3. Обернена пропорційність
Задається формулою: у = k/х
Графіком такої функції є гіпербола.
![For \\[\\text{Y}\\] is inversely proportional to the square of \\[\\text{X}\\] when \\[\\text{Y = 50, X = 2,}\\] how do you find an equation connecting \\[\\text{Y}\\] and \\[\\text{X}\\]?](https://www.vedantu.com/question-sets/0a40be03-ece1-4a1f-9325-a7eb54d70c106081848287648655481.png)
4. Функція у = х2
Графіком функції є парабола.
Парність та непарність функції
1. Функцію y=f(x), називають парною, якщо для будь-якого значення x з області визначення виконується рівність
f(−x) = f(x).
Графік будь-якої парної функції симетричний відносно осі у.
2.Функцію y=f(x), називають непарною, якщо для будь-якого значення x з області визначення виконується рівність f(−x) = − f(x).
Графік будь-якої непарної функції симетричний відносно початку координат.
Монотонність функції
1.Значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0, називають нулем функції.
2.Функцію у=f(x) називають зростаючою на проміжку X, якщо з нерівності x1 > x2, де x1 і x2 — будь-які дві точки проміжку X, випливає нерівність f(x1) > f(x2).
Функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.
3.Функцію у=f(x) називають спадною на проміжку X, якщо з нерівності x1 > x2, де x1 і x2 — будь-які дві точки проміжку X, випливає нерівність f(x1) < f(x2).
Функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
4.Проміжки, на яких функція зберігає свій знак, називаються проміжками знакосталості функції.
Приклади розв’язування типових завдань
Задача 1
Знайти область визначення функції:
у = х – 1/х + 2
Розв’язання:
Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю, то областю визначення функції є множина усіх значень х, для яких х +2≠0, тобто х ≠ -2. Отже, D(y) = (-∞;-2) U (-2; +∞).
Задача 2
Знайти область значень функції:
у = -6/х
Розв’язання:
Областю значень будуть всі дійсні числа крім у = 0.
Отже, Е(y) = (-∞;0) U (0; +∞)
Задача 3
Дослідити на парність функцію:
f(x) = x2 + 5
Розв’язання:
f(- x) = (- x)2 + 5 = x2 + 5
Отже, f(- x) = f(x).
Функція парна.
Задача 4
Дослідити на парність функцію:
f(x) = 8/х
Розв’язання:
f(- x) = 8/(-х) = – 8/х
Отже, f(- x) = – f(x)
Функція непарна.
Задача 5
Знайдіть нулі функції, проміжки зростання та спадання функції, зображеної на малюнку
Розв’язання:
х1 = -5; х2 = -2; х3 = 1 – нулі функції;
(-∞;-3) U (-1; +∞) – зростає;
(-3;-1) – спадає.
Задача 6
Знайдіть нулі функції: 1)у = 2х2 – х – 6;
2) у = х2 – 36
Розв’язання:
1) у = 0
2х2 – х – 6 = 0
D = 1 – 4 · 2 · 6 = 49
х1 = 2; х2 = – 1,5
Отже, х1= – 1,5; х2 = 2.
2) у = 0
х2 – 36 = 0
(х – 6)(х + 6) = 0
х – 6 = 0 або х + 6 = 0
х1 = 6 х2 = – 6
Отже, х1= – 6; х2 = 6.
Задача 7
Вкажіть проміжки знакосталості функції.
Розв’язання:
1) у > 0 при х є (4;9);
2) у < 0 при х є ( -2;4).
Тести, вебквест
1.Виконайте тести за посиланням:
https://vseosvita.ua/test/start/ozo070
2. Пройдіть вебквест за посиланням:
https://vseosvita.ua/webquest/start/s/17968/319583-f8f386d6
3. Виконайте інтерактивну вправу:
Підготовка до НМТ з математики
1.Перегляньте відео за посиланням:
2.Виконайте тести за посиланням:
https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-funkcionalna_zalezhnist_vlastivosti/
Завдання для
самостійної роботи
1.Функцію задано формулою у = 2х – 1. Знайти значення функції, якщо значення аргументу дорівнює – 2.
2.Знайти значення аргументу, при якому функція у = 3х + 1 набуває значення –8.
3.Знайти область визначення функції: у = 5/(х – 2).
4.Не виконуючи побудови графіка, знайти нулі функції:
у = 3х – 12.
5.Яка з точок належить графіку функції: у = 7х – 2?
а) (0; 4); б) (-2; – 12); в) (1; 5); г) (- 1; – 7).
6.Графік функції y = −3x + b проходить через
точку з координатами (2;8). Знайдіть b.
7.Виразіть із формули 2x − 4y = 6 змінну х.
Published: Jun 18, 2023
Latest Revision: Jun 18, 2023
Ourboox Unique Identifier: OB-1468959
Copyright © 2023
