Что такое лагорифмы

Что такое логарифм?
Нагляднее всего понять это с помощью графического решения уравнений. Начертим график y=3^{x}y=3^x
и с его помощью решим уравнения. Это вы могли видеть на предыдущей странице.

Корни уравнения исходя из графика:

3x=3

3^{x}=3^{1}3
x=3

1x = 1

3^{x}=93
x=9

3^{x}=3^{2}3

x=3
2x = 2

Отлично! А теперь решим уравнение 3^{x}=5

3x=5 .

И в этом случае невозможно назвать точное значение, то есть мы понимаем, что корень больше одного и меньше двух, но более точных данных нет.

Вот такой корень и задается с помощью логарифма, а именно x=log_3{5}x=log35

(читается как «логарифм пяти по основанию три» или «логарифм по основанию три от пяти»).

Мы определили смысл — теперь перейдем к общему определению логарифма.

Логарифмом числа b по основанию a называют показатель степени с основанием a, равной b. То есть, попросту говоря, логарифм — это степень, в которую нужно возвести a для получения b. Однако у логарифма есть условия или ограничения, что основание а больше нуля и не равно единице, а также показатель b больше нуля.

Понятно, что ничего не понятно, но жить как-то надо. Поэтому разбираемся дальше.

Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример, как решить логарифм: log_7{49}=?

Задаем вопрос: в какую степень нужно возвести 7, чтобы получить 49?

Ответ: во вторую степень.

Значит, log_7{49}=2

Какие бывают виды логарифмов?
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как lg . Пример десятичного логарифма: lg{0,1} .

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как ln . Пример натурального логарифма: ln{e^{5}}

Свойства и формулы логарифмов
1. a^{log_a{b}}=b

Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.

Пример: 7^{log_7{8}}=87

2.log-a{b}+log_a{c}=log_a{(bc)}

Пример: log_{11}{5}+log_{11}{24,2}=log_{11}{(5 24,2)}=log_{11}{121}=2

3.log_a{b}-log_a{c}=log_a{dfrac{b}{c}}log
​

Пример: log_{13}{1690}log_{13}{10}=log_{13}{dfrac{1690}{10}}=log_{13}{169}=2

4.Логарифм степени находится по формуле: log_a{b^{n}}=ncdot log_a{b}log

Видно, что показатель степени выносим перед логарифмом.

Пример: log_6{6^{0,75}}=0,75cdot log_6{6}=0,75

5. log_{a^{k}}{b}=dfrac{1}{k}log_a{b}

Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет dfrac{1}{5}

Пример: log_{4^{0,5}}{16}=dfrac{1}{0,5}log_4{16}=2cdot 2=4

6. Если нужно перейти к другому основанию, то можно сделать это по формуле: log_a{b}=dfrac{log_c{b}}{log_c{a}}log

Свойство называется формулой перехода к новому основанию.

7. А частным случаем предыдущей формулы является формула, которая позволяет менять местами основание и аргумент логарифма: log_a{b}=dfrac{1}{log_b{a}}.

Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые главные. Комбинируя свойства выше, можно получать все новые и новые формулы для логарифмов. Например, соединив 4-ю и 5-ю формулы, получим log_{a^{k}}{b^{n}}=dfrac{n}{k}log_a{b}log
​ Но запоминать ее нет смысла, важно знать лишь базовые свойства логарифмов.

Примеры во можете найти в своих учебничках. Мне больше добавить нечего. и то это не моя информация. Всем пока бэйбы.