Логарифмы

Повторение

Ответьте на вопросы:

1. Что такое степень? что такое основание степени? что такое показатель степени?
2. Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах.
   

Изучение нового материала

Закрепление изученного материала

Дополнение

Познавательный материал «В мире логарифмов»

• Джону Неперу принадлежит сам термин «Логарифм», который он перевел как «Искусственное число». Этот термин был введен в 1594 году.
• Джон Непер-шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течении 5 лет в университете изучал математику, физику, астрономию. В своей дальнейшей жизни Непер серьезно не занимался математикой и астрономией. Имел свое имение, занимался земледелием и изобретением приборов.
• К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
• Логарифмы позволили перейти от сложных действий: возведение в степень, извлечение корня к умножению и делению, а затем к сложению и вычитанию.
• Логарифмы послужили основой создания замечательного вычислительного инструмента – логарифмической линейки, которая более 360 лет служила инженерно-техническим работникам всего мира (вплоть до 70-х годов двадцатого века). Логарифмическая линейка имеет 12 шкал, с помощью которых можно выполнить действия умножения, деления, возведение в степень (чаще всего в квадрат и в куб), извлечение квадратных и кубических корней.
• Точность выполнения операций была достаточно высокая – 4-5 знаков после запятой.
• Интересный факт: отправляясь на Луну, американские астронавты
• взяли с собой логарифмическую линейку в качестве запасного калькулятора.
• С логарифмами связана кривая, получившая название логарифмическая спираль или изогнутая спираль. Это особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана французским математиком Рене Декартом.
• Интересный факт: Ночные бабочки, которые пролетая большие расстояния, ориентируются по параллельным лунным лучам. Но если они сменят ориентацию на точечный источник света, например, на пламя свечи, то инстинкт их тут же подводит и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.
• Еще один интересный факт: если вы хотите немедленно наблюдать логарифмическую спираль в природе, то согните указательный палец и он тут же примет форму логарифмической спирали.
• При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, имеют дело с логарифмической зависимостью между величинами ощущения и порождающего его раздражения. Оба эти явления – следствия общего психофизического закона, согласно которому ощущения измеряются пропорционально логарифму раздражения.
• Химическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин и тоже связана с логарифмами.
• Классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 году геологом Чарльзом Рихтером в виде шкалы, основана на принципе логарифма.
• Логарифмы используются при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный.

История логарифма

Во все времена человечество пыталось вычисления упростить, составлялись таблицы, формулы для приближённых вычислений, которые заменили бы сложные операции вычислений на более простые вычисления. Потребность в новом способе счёта возникла в 16 веке, так как в это время развивается астрономия, торговля.

В это время, в эпоху Возрождения усиленно развивается судоходство, крупнейшие европейские державы стремятся к владычеству на море, происходят мореплавания на большие расстояния.

Обработка полученных данных требовала колоссальных расчетов, и, следовательно, стали необходимы новые средства упрощения вычислений. Такими средствами в 15 – 16 веках явились в первую очередь логарифмы и десятичные дроби. Логарифмы также были созданы в 16 веке как средство для упрощения вычислений. В их основе лежит очень простая идея, знакомство с которой приписывается еще Архимеду.

Ученые приходят к выводу, что если заменить умножение и деление на сложение и вычитание, то сложности астрономических вычислений сократятся. Была сопоставлена геометрическая прогрессия с арифметической, при том, что геометрическая – исходная.

При этом упрощалось не только умножение и деление, но и извлечение корня n-ой степени, преобразуется в деление логарифма подкоренного выражения на степень n.

Вся эта теория принадлежит Михаэлю Штифелю. Так считают, потому что он был первым, кто опубликовал ее в своей книге.

В 1614 году выходит книга шотландца Джона Непера на латинском языке опубликованная в Эдинбурге, сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В этой книге он даёт краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′.

Сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов» было разделено на 2 книги, из которых первая книга посвящена логарифмам, а вторая книга тригонометрии.

Понятия функции тогда ещё не существовало, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель. Непер = 10000000.

В то время все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Но и это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность.

Многие европейские математики, включая Кеплера, стали составлять логарифмические таблицы.

В это время математик – Бригг, который восхищался Непером, за то, что тот открыл такую гениальную вещь как логарифм. Бриг поехал в Шотландию, чтобы увидеть изобретения и сделал открытие десятичных логарифмов.

Так логарифмы стали применяться практически во всех сферах жизни. Там, где нужно было проводить вычисление над многозначными числами или где была необходима точность до 5-ого знака после запятой стали применять логарифмы. На практике более точные результаты не используются. Учёные убедились, что логарифмы уникальны, способны описать практически любое физическое явление.

Первые десятичные логарифмы появились в 1615 году и были напечатаны первые логарифмические таблицы.

Непер тогда предложил взять за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти – 100, или, что сводится к тому же, просто 1.

Непер не смог усовершенствовать свои таблицы из-за болезни, однако дал Бригсу (1561-1631) рекомендации видоизменить определение логарифма, приблизив его к современному. Бригс опубликовал свои таблицы в год смерти Непера (1617).

Логарифмическая спираль

Почему логарифмическая спираль является примером логарифмической зависимости в природе и не только? Попробую ответить на этот интересующий нас вопрос. Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых, всегда, во все времена цель математической науки, остаётся одной, помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его тайны и закономерности.

Многие явления природы помогает описать логарифмическая зависимость, т.е. логарифмическая функция. Математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, стали часто обращаться к логарифмической функции. Ярким примером этого обращения является логарифмическая спираль.