הסתברות -שיעור שני

בשיעור זה נלמד על מאורעות בלתי תלויים

1-אינטואיציה והגדרה

2-הסתברות החיתוך של מאורעות בלתי תלויים

3-שאלה לדוגמה

4-סיכום

פתרון סעיף א

התוצאות האפשריות הן 2, 4, 6, 8.לכל אחת מהן אותו סיכוי,ולכן הסיכוי הוא 1/4

פתרון סעיף ב

התוצאות האפשריות הן עץ ופלי וסיכוייהן שווים, ולכן הסיכוי הוא  1/2  .

פתרון סעיף ג

• אין קשר בין סיבוב הסביבון לבין הטלת המטבע. תוצאת האחד אינה תלויה בתוצאה של האחר.

  העובדה שהסביבון נופל על 6 איננה משפיעה כלל על התוצאה של הטלת המטבע.

• בהכללה: הנפילה של הסביבון על אחד המספרים איננה משפיעה על הצד של המטבע שאותו רואים.

  לכל תוצאה של הסביבון, הסיכוי של כל תוצאה אפשרית בהטלת המטבע (עץ או פלי) נשאר  1/2  .

פתרון סעיף ד

נרשום את האפשריות שאותן אקבל (2, עץ)  (2, פלי) (4, עץ)  (4, פלי) (6, עץ)  (6, פלי) (8, עץ)  (8, פלי)

• לפעולה הדו-שלבית יכולות להתקבל 8 תוצאות שונות זו מזו.

• לכל התוצאות סיכויים שווים, ולכן הסיכוי של כל אחת מהן הוא 1/8.

מאורעות בלתי תלויים – הגדרה

• מאורע A נקרא בלתי תלוי במאורע B אם העובדה ש-B קרה לא משנה את ההסתברות שיקרה A.
• אם מאורע A בלתי תלוי במאורע B, אז גם מאורע B בלתי תלוי במאורע A.
• מאורעות בלתי תלויים נהוג לסמן בראשי תיבות – ב”ת.

• דוגמה למאורעות בלתי תלויים: תוצאות של הטלת מטבע ושל סיבוב סביבון.

דוגמה

• לזוג הורים נולדו 4 בנות. מה ההסתברות שבלידה החמישית ייוולד להם בן?

פתרון

בכל לידה ההסתברות לבן כמו ההסתברות לבת היא בערך 50%.

אין קשר בין לידה אחת לאחרת, כלומר לידות הן מאורעות בלתי תלויים;

לכן ההסתברות לבן בלידה החמישית היא   1/2 , וזהה להסתברות בלידה הראשונה, השנייה, השלישית…

דוגמה

• דן משתתף בקביעות בהגרלה שבועית, שהסיכוי לזכות בה הוא 0.0001 .
  במשך 100שבועות רצופים דן לא זכה בהגרלה. מה הסיכוי שיזכה בפעם הבאה?

פתרון

• אין קשר בין הגרלה להגרלה, כלומר זכיות בהגרלות בשבועות השונים הן מאורעות בלתי תלויים.
• ההסתברות לזכות בשבוע ה-101 זהה להסתברות לזכות בכל שבוע אחר;

  לכן ההסתברות שדן יזכה בהגרלה ה-101 היא 0.0001 .

ההסתברות להתרחשות שני מאורעות בלתי תלויים

• מאורע A נקרא בלתי תלוי במאורע B אם העובדה ש-B קרה לא משנה את ההסתברות של A.
• ההסתברות ששני מאורעות יתרחשו היא ההסתברות של החיתוך ביניהם.
• ההסתברות שיתרחשו שני מאורעות בלתי תלויים זה בזה שווה למכפלת ההסתברויות שלהם,
  כלומר אם A ו-B הם מאורעות בלתי תלויים, אז ההסתברות ששניהם יקרו היא:
• P(AnB)=P(A)*P(B)

• שימו לב שגם המשפט ההפוך נכון:

  אם ההסתברות ששני אירועים יקרו שווה למכפלת
ההסתברויות שלהם, כלומר אם מתקיים:

אז B אינו תלוי ב-A וA- אינו תלוי ב-B.

דוגמה

• מה הסיכוי לשלוף מלך-יהלום מחבילת קלפים סטנדרטית?
• ————————————————————————————-
• דרך פתרון ראשונה:
  • בחבילת קלפים סטנדרטית 52 קלפים.

  ידוע לנו שיש בחבילה קלף אחד של מלך יהלום, ולכן הסיכוי לשלוף אותו הוא  1/52

• ————————————————————————————

• דרך פתרון שנייה:

  • המאורע “שליפת מלך-יהלום” הוא חיתוך של המאורע שליפת מלך והמאורע שליפת יהלום.
  • נבדוק אם המאורעות הללו בלתי תלויים:
  • 4 מהקלפים בחבילה כולה הם של מלכים (לב, תלתן, עלה, יהלום),
  • לכן ההסתברות של שליפת מלך היא:  1/13=4/52
  • ההסתברות של שליפת מלך: 1/13
  • בחבילה 13 קלפי יהלום (1-10, נסיך, מלכה ומלך), ורק אחד מהם הוא מלך, לכן אם ידוע שנשלף יהלום – ההסתברות לשליפת מלך היא: 1/13
  • מסקנה:
    המידע שנשלף יהלום אינו משפיע על ההסתברות לשליפת מלך, כלומר המאורעות בלתי תלויים
  • מצאנו שהמאורעות “שליפת מלך” ו”שליפת יהלום” הם ב”ת, לכן לפי הכלל שלמדנו ההסתברות לשליפת מלך-יהלום שווה למכפלת ההסתברויות של שליפת מלך ושל שליפת יהלום.
  • 4 מהקלפים הם של מלכים (לב, תלתן, עלה, יהלום), לכן הסיכוי לשלוף מלך הוא: 4/52
  • בחבילה 13 קלפי יהלום (1-10,נסיך,מלכה ומלך),לכן הסיכוי לשלוף יהלום הוא: 13/52
  • ההסתברות לחיתוך של שני המאורעות היא אם כן:
  • 1/52=4/52*13/52=(מלך-יהלום)P

דוגמה

ההסתברות לזכות בפרס במכונת מזל א’ היא 0.2, וההסתברות במכונת מזל ב’ היא 0.05.
אדם משחק בשתי מכונות המזל בזו אחר זו. מה ההסתברות שיזכה בפרס בשתיהן?
—————————————————————————————

פתרון

• כיוון ששתי המכונות אינן תלויות זו בזו, הסיכוי לזכות בפרס בשתיהן הוא מכפלת הסיכויים של הזכייה בפרס בכל אחת מהן בנפרד, כלומר:

 0.2*0.05=0.01

שאלה 1

• בעיר מסוימת 30% מתלמידי התיכון פעילים בתנועות נוער, ו- 40% מהתלמידים מרכיבים משקפיים.

• ידוע שאין קשר בין הרכבת משקפיים לפעילות בתנועת נוער.

מצא את ההסתברות שבבחירה אקראית של תלמיד תיכון בעיר, ייבחר תלמיד שהוא…:

א-אינו פעיל בתנועה אך מרכיב משקפיים.

ב-פעיל בתנועה ומרכיב משקפיים.

ג-אינו פעיל בתנועה ואינו מרכיב משקפיים.

תשובה לסעיף א’ 

0.7*0.4=0.28

תשובה לסעיף ב’ 

0.3*0.4=0.12

תשובה לסעיף ג’ 

0.7*0.6=0.42

הגדרנו מאורעות בלתי תלויים:
מאורע A  נקרא בלתי תלוי במאורע B אם העובדה ש-B קרה לא משנה את ההסתברות שיקרה A.

חישבנו את ההסתברות להתרחשות החיתוך של שני מאורעות בלתי תלויים:

  A ו-B בלתי תלויים

• P(AnB)=P(A)*P(B)