שיעור ראשון בהסתברות

היום ניזכר במושגים מתחום ההסתברות.

*מבוא וחזרה על מונחים שנלמדו

*תרגול: הטלת קובייה

*סיכום

מהי הסתברות?

ההסתברות לקבלת תוצאה היא קביעה מראש של הסיכוי (מידת ההיתכנות) שהתוצאה תתקבל.

• ההסתברות לקבלת תוצאה מסוימת מבוססת על השכיחות היחסית של אותה תוצאה מתוך כלל התוצאות המתקבלות, כאשר מספר הניסיונות גדול מאוד.
• בהטלת קובייה ההסתברות לקבלת 4 היא .1/6 למה?
  • בהטלת קובייה יש שש תוצאות אפשריות (1,2,3,4,5,6).
    בהטלת קובייה פעמים רבות צפוי שהשכיחויות היחסיות של שש התוצאות האפשריות תהיינה שוות,כלומר ההסתברות של כל תוצאה אפשרית זהה להסתברות של כל אחת מהתוצאות האחרות. מכאן שההסתברות לקבלת 4 בהטלת קובייה היא 1/6.

מאורע הוא קבוצה של תוצאות אפשריות.

תוצאות שוות-הסתברות

במצב שבו הסימטריה בקבלת שתי תוצאות שונות ניכרת לעין, ההסתברויות לקבלת שתי התוצאות שוות זו לזו.

• בשל הסימטריה בהטלת קובייה, ההסתברות לקבלת 3 שווה להסתברות לקבלת 6.

הסתברות של מאורע מתפצל

*אם מאורע מתפצל למאורעות משנה, הסתברותו היא סכום הסתברויותיהם.

*ההסתברות לקבל בהטלת קובייה מספר המתחלק ב-3 ללא שארית היא סכום ההסתברויות לקבלת 3 ולקבלת 6

1/6+1/6=2/6=1/3

הסתברויות של מאורעות משלימים

מאורעות משלימים הם מאורעות זרים המכילים יחד את כל התוצאות האפשריות.

  סכום ההסתברויות של מאורעות משלימים הוא 1

-סכום שתי ההסתברויות, ההסתברות שמאורע מסוים יתרחש וההסתברות שאותו מאורע לא יתרחש, הוא 1

• ההסתברות לקבל בהטלת קובייה מספר שאיננו מתחלק ב-3 משלימה ל-1
  את ההסתברות לקבל מספר המתחלק ב-3.

1-1/3=2/3

שאלה 1

• בהטלת קובייה יש 6 תוצאות אפשריות: 1,2,3,4,5,6.

  בכל סעיף נגדיר שני מאורעות, ונכנה אותן מאורע A ומאורע B.

  -אA ={1,3,5} , B = {2,4,6}              -בA ={1,3,5}  ,B = {3,5}

  -גA ={1,3,5}   ,B = {2,4}                -דA ={1,3,5}   , B = {1,4,6}

• לכל אחד מהסעיפים ענו על השאלות:

  1-מה ההסתברות של מאורע A?

  2-מה ההסתברות של מאורע B?

  3-מה הקשר בין המאורעות?

  *המאורעות זרים זה לזה (אין אף תוצאה משותפת).

  *מאורע אחד מוכל באחר (כלומר כל התוצאות של מאורע אחד נמצאות גם במאורע האחר).

  *המאורעות שונים זה מזה, אך יש להם תוצאה משותפת (אחת או יותר).

פתרון סעיף א 

1-מה ההסתברות של מאורע A?

פתרון: מאורע  A מכיל 3 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו:

P(A)=3/6=1/2

2-מה ההסתברות של מאורע B?
פתרון: מאורע  B מכיל 3 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו

P(B)=3/6=1/2

3-מה הקשר בין המאורעות?
תשובה א’ נכונה המאורעות זרים זה לזה (אין אף תוצאה משותפת).

נשים לב שהמאורעות A ו-B הם מאורעות משלימים

A ={1,3,5} , B = {2,4,6}

ולכן סכום ההסתברויות שלהם הוא 1.

פתרון סעיף ב

1-מה ההסתברות של מאורע A?

פתרון: מאורע  A מכיל 3 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו:

P(A)=3/6=1/2

2-מה ההסתברות של מאורע B?
פתרון:מאורע  B מכיל 2 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו:

P(B)=2/6=1/3

3-מה הקשר בין המאורעות?
תשובה ב’ נכונה מאורע B מוכל במאורע A.

נשים לב שאין תוצאות שוות בין שני המאורעות

A ={1,3,5}   ,B = {2,4}

פתרון סעיף ג

1-מה ההסתברות של מאורע A?

פתרון: מאורע  A מכיל 3 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו:

P(A)=3/6=1/2

2-מה ההסתברות של מאורע B?
פתרון:מאורע  B מכיל 2 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו:

P(B)=2/6=1/3

3-מה הקשר בין המאורעות?

תשובה א’ נכונה המאורעות זרים זה לזה (אין אף תוצאה משותפת).

A ={1,3,5}  ,B = {3,5}

פתרון סעיף ד

1-מה ההסתברות של מאורע A?

פתרון: מאורע  A מכיל 3 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו:

P(A)=3/6=1/2

2-מה ההסתברות של מאורע B?
פתרון:מאורע  B מכיל 3 תוצאות מתוך 6 אפשרויות בהטלת קובייה לכן הסתברותו

P(B)=3/6=1/2

3-מה הקשר בין המאורעות?

תשובה ג’ נכונה המאורעות שונים זה מזה, אך יש להם תוצאה משותפת (אחת או יותר).

A ={1,3,5}   , B = {1,4,6}

שאלה 2

• מה ההסתברות לקבל בהטלת קובייה את התוצאה 7?
• פתרון
  בהטלת קובייה התוצאה 7 אינה אפשרית, לכן הסתברותה היא 0.

שאלה 3

• מה ההסתברות לקבל בהטלת קובייה תוצאה זוגית המתחלקת ב-5?
• פתרון
  בהטלת קובייה אין אף תוצאה זוגית המתחלקת ב 5 – כלומר ההסתברות לכך היא 0.

• שאלה 4

  • מה ההסתברות לקבל בהטלת קובייה את התוצאה 7?
  • פתרון
    
  • בהטלת קובייה נקבל בוודאות את אחד המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, לכן ההסתברות לכך היא 1.

היום חזרנו על מושגים בסיסיים בהסתברות:

–ההסתברות לקבלת תוצאה היא קביעה מראש של הסיכוי (מידת ההיתכנות) שהתוצאה תתרחש.
-ההסתברות של תוצאה מסומנת באות  P (מהמילה האנגלית probability).

–מאורע הוא אוסף של תוצאות אפשריות.

–מאורעות משלימים הם מאורעות זרים המכילים יחד את כל התוצאות האפשריות.

  סכום ההסתברויות של מאורעות משלימים שווה הוא 1.

–מאורע ודאי הוא מאורע הכולל את אוסף כל התוצאות האפשריות.

  ההסתברות של מאורע ודאי היא 1.

–מאורע ריק הוא כל מאורע בלתי אפשרי, ומסמנים אותו כך: { }  או כך: ϕ

  ההסתברות של מאורע ריק היא 0.